נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

נוסחת אוילר היא נוסחה בסיסית באנליזה מרוכבת. היא מקשרת בין הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נכתבת כך: e^{iθ} = cos θ + i sin θ. כאן e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי, ו-i היא היחידה המדומה, מספר שמקיים i^2 = -1.

בעת הצבה של θ = π (פאי) הנוסחה נותנת את זהות אוילר המפורסמת: e^{iπ} = -1, ולכן e^{iπ} + 1 = 0. זה מקשר בצורה פשוטה חמש קבועים מתמטיים חשובים.

למספר מרוכב z שאינו אפס אפשר להגדיר אורך r (המודולוס) וזווית θ (הארגומנט). זו קרויה ההצגה הקוטבית: z = r(cos θ + i sin θ). לפי נוסחת אוילר זו גם נכתבת כ-z = r e^{iθ}. הצגה זו מקלה חישובים, למשל בכפל: מכפלת שני מספרים מרוכבים משאירה את המכפלה של האורכים ואת סכום הזוויות.

משפט דה-מואבר נובע מיד: (cos x + i sin x)^n = cos(nx) + i sin(nx) ל-n טבעי.

הפונקציה f(x)=e^{ix} היא הומומורפיזם של החבורה (הקבוצה) של המספרים הריאליים תחת חיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב תחת כפל. כלומר חיבור זוויות מתורגם להכפלת נקודות על המעגל. הגרעין של העתקה זו הוא הקבוצה 2πZ, ולכן מעגל היחידה איזומורפי ל-R/2πZ.

קיימות הוכחות שונות לנוסחה. אחת מהן משתמשת בטור טיילור של פונקציות e^x, cos x ו-sin x. כאשר מחליפים x ב-iθ ומתארגנים את החזקות של i, מתקבל שהחלק הממשי של e^{iθ} הוא cos θ, והחלק המדומה הוא sin θ.

אפשר להראות את השוויון גם כך: מגדירים f(x) = (cos x + i sin x)e^{-ix} ומראים שנגזרת f היא אפס. מכיוון ש-f(0)=1, מתקבל שהמכפלה שווה 1 לכל x, ואז e^{ix}=cos x + i sin x.

נוסחת אוילר ניתנת להכללה לממשקים מתקדמים יותר. בדוגמה של הקווטרניונים יש נוסחה דומה: exp(x r) = cos x + r sin x, כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניוני.

נוסחת אוילר מחברת בין פונקציות מתמטיות מוכרות. היא אומרת שמחבר בכללים בין האקספוננטי לסינוס ולקוסינוס.

אם בוחרים זווית בשם פאי, מקבלים תוצאה מיוחדת: e בחזקת i כפול פאי שווה -1. לכן e בחזקת iפאי ועוד 1 שווה 0. זהו חיבור יפה בין מספרים חשובים.

כל מספר מרוכב אפשר לתאר על ידי אורך וזווית. האורך נקרא מודולוס, והזווית נקראת ארגומנט. בעזרת הנוסחה אפשר לכתוב את המספר כ-a פעמים משהו עם סינוס וקוסינוס. זה עוזר במיוחד לכפילות ולחיבור זוויות.

יש הוכחה שמשתמשת בסדרות חזרתיות של חזקות. עוד הוכחה בודקת פונקציה ונגזרותיה ומגיעה לאותה תוצאה. זה מראה שהקשר יציב ונכון.

יש גם גרסאות לנוסחה במבנים מתמטיים אחרים, למשל בקווטרניונים. שם נותנים נוסחה דומה על כדור מיוחד של נקודות.