נורמה היא פונקציה שמקשרת לכל וקטור במרחב וקטורי מספר ממשי לא-«אורך» שלו. מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה נקרא מרחב נורמי. הנורמה מזכירה מדד מרחק, והיא נותנת מידה של גודל וקטור שאינה משתנה רק כי הזזנו את המערכת.
נורמה חייבת למלא שלוש אקסיומות עיקריות: חיוביות (האורך הוא לא שלילי, והוא אפס רק לוקטור האפס), הומוגניות (כאשר מכפילים את הוקטור במקטין המספרי, האורך משתנה לפי ערך מוחלט של מקדם הכפל), ואי-שוויון המשולש (האורך של סכום שני וקטורים קטן או שווה לסכום האורכים שלהם).
יש גם נוסח חזק יותר שמתאר כמה רחוקים שני הוקטורים ממצב שבו האורכים מתמוספים בדיוק. אם נסתכל על וקטורי יחידה (וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו שווה ל־1), אפשר להגדיר בערך גורם α שמודד זווית יחסית בין הכיוונים. באמצעותו מקבלים אי־שוויון שמגביל את ההבדל בין סכום האורכים לבין אורכו של הסכום. מכאן נובע תנאי לשוויון האורכים: מתקיים שוויון בדיוק כאשר גם וקטורי היחידה המתאימים עומדים בתנאי זה.
על הישר הממשי הנורמה הבסיסית היא הערך המוחלט. זהו מדד האורך הפשוט ביותר.
אם למרחב יש מכפלה פנימית (פעולה שמאפשרת למדוד זוויות), אז אפשר להגדיר נורמה על ידי קבלת השורש של המכפלה של הוקטור בעצמו. נורמה כזו נקראת מושרית מהמכפלה הפנימית. היא מקיימת גם שוויון מקביליות מוכר, שניתן לנסח בנוסחה מרובעת.
ב־R^n (או C^n) הנורמה הנפוצה היא הנורמה האוקלידית. היא מחשבת את השורש של סכום ריבועי הקואורדינטות. זו הנורמה המוכרת כאורך הגיאומטרי של וקטור.
לכל מספר p ≥ 1 נגדיר נורמה שמבוססת על סכום המכפלות של ערכי הקואורדינטות בחזקת p. עבור p=2 מקבלים את הנורמה האוקלידית. עבור p=1 מקבלים נורמה שמתאימה למה שנקרא «גאומטריית מנהטן».
נורמת המקסימום מקבלת את הערך המוחלט הגדול ביותר בין הקואורדינטות. אפשר לראות אותה כגבול של הנורמות lp כאשר p גדל לאינסוף.
אפשר להכליל את נורמות lp לסדרות אינסופיות. אז מגדירים את הנורמה דרך סכום האיברים בחזקת p, או במקרה p=∞ על ידי המקסימום הסופני. כדי שהנורמה תהיה מוגדרת, בוחרים רק את הסדרות שעבורן כמות זו סופית. קבוצה זו מסומנת בדרך כלל ב־ℓ^p.
באותו רעיון מגדירים נורמות על מרחבי פונקציות על ידי חישוב אינטגרל של ערך הפונקציה בחזקת p. גם כאן בוחרים רק פונקציות שהנורמה שלהן סופית, וקבוצתן מסומנת ב־L^p.
על קטע סגור וחסום בישר, למשל [0,1], כל פונקציה רציפה היא אינטגרבילית. לכן כל נורמות L^p עליה הן סופיות.
על אופרטור ליניארי בין מרחבים נורמיים מגדירים נורמה אופרטורית. זו מידה של כמה האופרטור יכול להגדיל אורך של וקטור, כלומר המקסימום של יחס אורך התוצאה לאורך הקלט.
שתי נורמות נקראות שקולות אם כל אחת מהן מקבילה לשנייה על ידי הכפלה בקבועים חיוביים. נורמות שקולות משרות את אותה טופולוגיה: סדרה שמתכנסת לפי נורמה אחת תתכנס גם לפי השנייה. במרחב וקטורי מממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.
נורמה היא דרך למדוד «אורך» של וקטור. וקטור הוא רשימה של מספרים שמראה כיוון וגודל. מרחב נורמי הוא מקום שבו יש נורמה.
נורמה חייבת לעמוד בשלושה כללים פשוטים. האורך תמיד לא שלילי. אם אורך הוא אפס, הוקטור הוא הוקטור האפס. אם מכפילים את הוקטור במספר, האורך משתנה בהתאם. וגבול אחר אומר שאורך של סכום וקטורים לא גדול מסכום האורכים שלהם.
על הישר הערך המוחלט הוא נורמה. הוא מודד מרחק מנקודה לאפס.
בנורמה הכי מוכרת מחשבים את אורך החץ בדרך גאומטרית. לוקחים את הריבוע של כל רכיב, מוסיפים ושורשית. זו הנורמה שאנו מכירים כאורך במישור ובחלל.
נורמת p היא כלל שמחשב גודל בעזרת חיבור של ערכים בחזקת p. אם p שונה, המידה משתנה. לנורמה עם p=1 קוראים לעיתים «גאומטריית מנהטן», כי היא מזכירה תנועה ברחובות ישרים. יש עוד נורמה שאומרת את הערך המוחלט הגדול ביותר של הרכיבים. היא בוחרת את הקואורדינטה הכי גדולה.
אפשר למדוד גם סדרות אינסופיות בעזרת נורמות, אבל צריך לוודא שהתוצאה תהיה מספר ולא אינסוף. כך מגדירים קבוצות כמו ℓ^p של סדרות שמתאימות. באותו רעיון יש נורמות על פונקציות, שמודדות גודל בעזרת אינטגרל.
על קטע סגור כמו [0,1], כל פונקציה רציפה היא אינטגרבילית. לכן כל נורמות ה־L^p סופיות עליה.
לאופרטור ליניארי (כלומר פעולה שממירה וקטור לוקטור אחר) יש נורמה. היא אומרת עד כמה האופרטור יכול להגדיל אורך של וקטור.
שתי דרכים למדוד אורך נקראות שקולות אם הן מותאמות זו לזו על ידי קבוע. בממדים סופיים כל הדרכים האלו שקולות.
תגובות גולשים