עקבה (אלגברה)

עִקְבָה (trace) היא פונקציונל, כלומר פונקציה שמקשרת מטריצה או אופרטור למספר, שיש לה שימושים רחבים באלגברה. היא נולדה באלגברה ליניארית והתווספה לתחומים אחרים, כמו חבורות מטריצות, תורת גלואה ואלגברות מממד סופי.

עקבה של מטריצה ריבועית מוגדרת כסכום איברי האלכסון הראשי. כלומר, אם A היא מטריצה בגודל n, אז העקבה היא a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}. אם רכיבי המטריצה שייכים לשדה (קבוצה שבה אפשר לחבר ולכפול), התוצאה היא איבר באותו שדה.

העקבה היא העתקה ליניארית: היא שומרת חיבור וכפל בסקלר (מספר). היא לא משתנה תחת טרנספורמציות מסוימות: השורה והעמודה מחליפות (טרנספוזיציה) משאירות אותה ללא שינוי. בנוסף, היא מקיימת תכונה מחזורית חשובה: tr(AB)=tr(BA), כלומר סכום האלכסון של מכפלת שתי מטריצות לא תלוי בסדר הכפלה (במקרים מתאימים). מאפיין זה גורר גם ש-tr(PAP^{-1})=tr(A) לכל מטריצה הופכית P, ולכן מטריצות דומות, כלומר אלה שמייצגות את אותו אופרטור בבסיסים שונים, יש להן את אותה עקבה.

מהתכונה המחזורית נובע שהקומוטטור AB-BA תמיד בעל עקבה אפס. להיפך, אפשר להראות שכל מטריצה בעלת עקבה אפס ניתנת להצגה כקומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה קשור לשאלות מבניות באלגברות.

יש גם זיהוי אנליטי: הממוצע של כל ההסיבובים האוניטריים של מטריצה A נותן מטריצה סקאלרית שגבוליה תלויים בעקבה, מה שמקשר בין העקבה לחבורה הייחודית של מטריצות אוניטריות.

העקבה של אופרטור (העתקה ליניארית על מרחב וקטורי) נקבעת על ידי המטריצה המייצגת אותו בכל בסיס, והתוצאה בלתי תלויה בבחירת הבסיס. אפשר להגדיר עקבה בלי בחירת בסיס בכמה דרכים מקבילות: כאיבר בפולינום האופייני (המקדמה של המעלה n-1), בעזרת הזיהוי בין אופרטורים ל־V^*\otimes V (מכפלה טנזורית של המרחב והדואלי שלו), או דרך הפעולה של האופרטור על מרחב התבניות האנטיסימטריות מממד n.

בהרחבת שדות סופית K/\mathbb{F}, העתקת העקבה מוגדרת על ידי סכימת כל התמורות האוטומורפיות של האלמנט: tr(a)=\sum_\sigma\sigma(a). זו העתקה ליניארית ועל. אם ההרחבה ציקלית (חבורת גלואה מחוללת על ידי אוטומורפיזם σ), אז מתקיים: tr(a)=0 אם ורק אם קיים b כך ש‑a=σ(b)-b. ניסוח זה קשור לתוצאות קוהומולוגיות ולמשפט 90 של הילברט במקרה המולטי־פליקטיבי.

לכל אלגברה מממד סופי מעל שדה יש שיכון באלגורת מטריצות (ייצוג רגולרי). זה מאפשר להגדיר בפשטות עקבה, דטרמיננטה ופולינומים אופייניים בתוך אלגברה. במקרים של אלגברות פשוטות יש גם רעיון של 'עקבה מצומצמת', המושתת על שיכון מותאם למטריצות בגודל n במקום השיכון הרגיל.

עִקְבָה היא מספר שמקבלים ממטריצה. זאת סכימת המספרים שנמצאים על האלכסון שלה.

אם יש מטריצה ריבועית, לסכום של האיברים שעל האלכסון קוראים "עקבה". זה פשוט וקל לחשב.

העקבה שומרת על חיבור וכפל במספרים. אם מכפילים שתי מטריצות בסדר שונה, לפעמים סכום האלכסון נשאר זהה (tr(AB)=tr(BA)).
עוד דבר חשוב: אם עושים שינוי בבסיס שמייצג את אותה פעולה, העקבה לא משתנה.

כשהשדה גדל (הרחבה), אפשר להגדיר עקבה על ידי חיבור כל התמורות שמחליפות את המספר. אם סכום זה אפס, יש בדרך כלל דרך לכתוב את המספר כהפרש של שני איברים קשורים.

באלגברות קטנות אפשר לייצג איברים כמטריצות. כך מחשבים להם עקבה, ויש גם גרסה מיוחדת שנקראת עקבה מצומצמת.