פולינום אופייני

באלגברה ליניארית מגדירים לכל מטריצה ריבועית A פולינום שנקרא הפולינום האופייני.
מטריצה ריבועית היא מערך מספרים שיש בו אותו מספר שורות ועמודות. הפולינום מוגדר כ-p_A(λ)=det(λI-A), כאשר I היא מטריצת היחידה ו-det מסמן דטרמיננטה. דטרמיננטה הוא מספר שמספק מידע חשוב על המטריצה, למשל האם היא הפיכה.
הפולינום הוא ממעלה n, כאשר n הוא סדר המטריצה. שורשיו של הפולינום הם הערכים העצמיים של A. ערכים עצמיים הם מספרים שמראים איך המטריצה משנה וקטורים וכיוונים.
מקדמי הפולינום קשורים לעקבה ולדטרמיננטה. המקדמה החופשית שווה ל-(-1)^n · det(A), והמקדמה של החזקה n-1 שווה ל-מינוס העקבה. עקבה היא סכום האיברים על האלכסון. לדוגמה, עבור מטריצה בגודל 2×2 הפולינום הוא λ^2 − tr(A)·λ + det(A).
משפט קיילי־המילטון אומר ש-A מאפסת את הפולינום שלה: משבצים את A במקום λ ומקבלים את מטריצת האפס. מזה נובע שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.
שתי מטריצות דומות חייבות לשתף את אותו פולינום אופייני. ההפך אינו נכון תמיד; גם מעל שדה אלגברית סגור ייתכנו מטריצות שונות עם אותו פולינום.

פולינום אופייני עוזר ללמוד מטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים.
יש דרך לחבר מספר מהטבלה שמקראים לו דטרמיננטה. יש גם מטריצת זהות, מטריצה מיוחדת עם 1 על הקו מהפינה לפינה.
כדי לקבל את הפולינום האופייני עושים חישוב שמשתמש בדטרמיננטה ובמטריצה. השורשים של הפולינום הם הערכים העצמיים. ערכים עצמיים הם מספרים שמראים איך המטריצה משנה כיוון של וקטור.
למטריצה בשתי שורות ושתי עמודות אפשר למצוא פולינום פשוט שמשתמש בעקבה ובדטרמיננטה. עקבה היא סכום המספרים על האלכסון.
חוק חשוב אומר: אם מריצים את הפולינום עם המטריצה עצמה, מקבלים את מטריצת האפס. שתי מטריצות שדומות להן יש אותו פולינום. אבל אם לשתיים יש אותו פולינום, הן לא חייבות להיות זהות.