פונקציה הולומורפית

פונקציה הולומורפית היא פונקציה של משתנה מרוכב שמוגדרת על קבוצה פתוחה במישור המרוכב
וגזירה במובן המרוכב בכל נקודה בתחומה. גזירה במובן המרוכב פירושה שקיים הגבול של היחס
(f(z)-f(z0))/(z-z0) כשהמשתנה z מתקרב ל-z0, והגבול הזה לא תלוי בדרך שבה נעים אל הנקודה.

העובדה שהגבול אינו תלוי במסלול אומרת שהנגזרת הכיוונית שווה לכל הכיוונים. קיום הגבול
זה שקול לקיום קשר בין הנגזרות החלקיות של החלקים הממשיים של f. קשר זה מתבטא במשוואות
קושי-רימן (Cauchy-Riemann). אם f גזירה בכל נקודה של התחום U, אומרים שהיא הולומורפית ב-U.

המילה "הולומורפית" נוצרה מתולדות שנקשרו לשורש היווני שמשמעותו "שלם" ו"צורה".
לעתים משתמשים במקביל במונח "אנליטית". באנליזה המרוכבת שני המושגים האלה שווים בדרך כלל.

מספר מרוכב יכול להילקח כמספר עם חלק ממשי וחלק מדומה.
מבחינה זו משרטטת הולומורפיות הבדל חשוב מהגזירות הרגילות: הנגזרת המרוכבת בנקודה אינה
תלויה במסלול הגישה לנקודה. לכן הולומורפיות אינה רק קיום נגזרות חלקיות, אלא גם קשר
חזק ביניהן באמצעות משוואות קושי-רימן.

באנליזה המרוכבת יש יתרונות: פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות. כלומר, הן ניתנות להצגה
כטור חזקות מקומי (טור טיילור) והן גזירות אינסוף פעמים. זו תכונה חשובה שנובעת מנוסחת
האינטגרל של קושי.

פונקציה שהולומורפית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה. אם פונקציה הולומורפית בכל נקודה
חוץ מקטבים (נקודות שבהן היא שואפת לאינסוף), קוראים לה פונקציה מרומורפית.

פולינומים במשתנה מרוכב הם הולומורפיים בכל המישור. כך גם פונקציית האקספוננט והסינוס
והקוסינוס המורכבים. דוגמאות פחות טריוויאליות הן פונקציית זטא של רימן ופונקציית גמא;
אלו אינן שלמות ויש להן קטבים.

יש גם פונקציות שמראות שהגזירות המרוכבות חזקות מהגזירות הרגילות. למשל הפונקציות
Re(z) ו‑Im(z) ו־

a
a? (הכוונה היא לפונקציות שמחזירות את החלקים הממשי או המדומה) אינן הולומורפיות.
הפונקציה z↦1/z הולומורפית בכל מקום חוץ מאפס; בנקודה z=0 יש לה קוטב.

יש גם סוגים קשים של נקודות בודדות. לפונקציה e^{1/z} אין כלל גבול בנקודה z=0.
נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית. לפי משפט גדול של פיקאר, סביב סינגולריות עיקרית
התמונה של כל סביבה היא כל המישור המרוכב, אולי בלי נקודה אחת.

נוסחת האינטגרל של קושי ממנה נובע שטור טיילור של פונקציה הולומורפית מתכנס אליה.
באופן מעשי, אם f הולומורפית בתוך עיגול, אפשר להציג אותה כסכום של חזקות z^n
עם מקדמים שמתקבלים מאינטגרלים סביב היקף העיגול. זה מבטיח גם שהנגזרות של f
הן הולומורפיות בעצמן.

אפשר להגדיר הולומורפיות גם לפונקציות של כמה משתנים מרוכבים.
פונקציה כזו אנליטית אם אפשר לפתח אותה בטור חזקות מתכנס בישר לסביבה.
התנאי שנדרש שווה לזה שהיא הולומורפית בכל משתנה בנפרד, וזהו משפט מרכזי בתחום.

פונקציה הולומורפית היא פונקציה של מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים:\nחלק ממשי וחלק מדומה. פונקציה הולומורפית ניתנת לגזירה בכל נקודה בסביבה שלה.
גזירה כאן אומרת שאפשר לחשב "שיפוע" של הפונקציה במובן מיוחד.

עיקרון חשוב: הנגזרת של פונקציה הולומורפית לא תלויה בדרך שבה מתקרבים לנקודה.
זה שונה מלחישוב נגזרת במספרים רגילים. בגלל זה יש קשר חזק בין החלקים הממשיים
והמדומים של הפונקציה. קשר זה נקרא משוואות קושי-רימן.

פונקציות הולומורפיות הן "יפות" במתמטיקה. הן ניתנות לכתיבה כטור של חזקות סביב
נקודה. כלומר אפשר לפרק אותן לסכום של חזקות של z, כמו טור טיילור.

פולינומים (כמו z^2+1) הם הולומורפיים בכל מקום. גם e^z, sin(z) ו‑cos(z) הם הולומורפיים.
לפעמים פונקציה אינה מוגדרת בנקודה אחת. למשל 1/z לא מוגדרת ב‑0. שם יש לה "קוטב",
כלומר היא הולכת לאינסוף סביב הנקודה.

יש גם נקודות קשות יותר. למשל e^{1/z} מתנהגת מאוד לא יציב סביב 0.\נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית.
במקומות כאלה הפונקציה יכולה לקבל כמעט את כל הערכים האפשריים.

אפשר לדבר גם על פונקציות עם יותר ממשתנה מרוכב אחד.
הן נבדקות באותו רעיון: הולומורפית בכל משתנה בנפרד.