משוואת לפלס

משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה ∇²f = 0. האופרטור ∇² נקרא לפלסיאן (Laplacian). הוא מחבר את הנגזרות החלקיות השניות של פונקציה לפי הצירים, ומודד איך הפונקציה "מתפלגת" סביב נקודה.

המשוואה נקראת על שם המתמטיקאי פייר-סימון לפלס. היא חשובה בפיזיקה ויש לה שימושים רבים. משוואת לפלס היא מקרה פרטי של משוואת פואסון.

פונקציה שמקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית. כיוון שמשוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית אליפטית, פונקציות הרמוניות הן אנליטיות, כלומר ניתנות לגזירה אינסוף פעמים ולעיתים לייצוג באמצעות טורים חזקות.

בשני ממדים משתמשים בנגזרות לפי x ו-y. במקרה הזה הכותב הרגיל הוא: הנגזרת השנייה לפי x ועוד הנגזרת השנייה לפי y שווה לאפס. המשוואה יכולה להיות סימטרית במצבים מסוימים, למשל כשפרמטרים כמו a, b, γ, δ הם קבועים.

משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה. היא מתארת מצבים של שיווי משקל ותזרימים שבהם אין מקורות או סינגולריות.

באנליזה מרוכבת (תחום שעוסק בפונקציות של מספרים מרוכבים), הרכיבים הממשי והמדומה של כל פונקציה אנליטית מקיימים את משוואת לפלס. זה נובע ממשוואות קושי, רימן (משוואות שמקשרות בין הנגזרות של החלקים הממשי והמדומה) ומהעובדה שגזירות פעם אחת של פונקציה אנליטית מביאות לגזירות אינסופית.

לפונקציה הרמונית u ניתן לעיתים למצוא הרמונית צמודה v, כך שהפונקציה המורכבת u+iv היא אנליטית. פונקציה כזו קיימת מקומית בתחום פתוח, אבל קיומה בכל התחום אינו מובטח. משפט באנליזה מרוכבת קובע: תחום הוא פשוט-קשר אם ורק אם לכל פונקציה הרמונית יש הרמונית צמודה בכל התחום.

משוואת לפלס היא משוואה מתמטית שעוסקת בנגזרות. נגזרת היא מדד לשינוי של פונקציה.

אם סכום הנגזרות השניות לפי x ופי y שווה לאפס, אז אומרים שהפונקציה מקיימת את משוואת לפלס. זאת דרך לבדוק "איזון" של הפונקציה вокруг נקודה.

המשוואה נקראת על שם המתמטיקאי לפלס. פונקציה שמקיימת אותה נקראת הרמונית. רמונית משמעותה שהיא חלקה ולא מקפיצה.

בשני ממדים בודקים את שתי הנגזרות השניות. הסכום שלהן שווה לאפס.

משוואת לפלס מופיעה בהרבה בעיות בפיזיקה. היא עוזרת לתאר מצבים שקטים וללא מקורות.

בחשבון של מספרים מרוכבים יש פונקציות שנקראות אנליטיות. החלקים האמיתי והמדומה של פונקציה כזו מקיימים את משוואת לפלס. לפעמים אפשר למצוא להן "הרמונית צמודה" שמתחברת אליהן, אבל לא תמיד זה אפשרי בכל המקום.