פונקציה קבועה מחזירה את אותו ערך לכל איבר בתחום שלה. תחום זה הוא אוסף הערכים שהפונקציה מקבלת כקלט. למשל הפונקציה f(x) ≡ 1 תמיד מחזירה 1 ולכן היא קבועה. לעומת זאת f(x)=x על המספרים הריאליים אינה קבועה, כי f(0) ≠ f(1).
גם הפונקציה הריקה, זו שתחומה הוא הקבוצה הריקה, נחשבת קבועה באופן ריק. זאת כי אין בה איברים שמראים על שינוי ערכים. עם זאת יש שמגדירים פונקציה קבועה רק אם התחום אינו ריק.
במרחב טופולוגי, פונקציה נקראת קבועה באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה שבה הפונקציה אינה משתנה. כאן "סביבה" היא קבוצה של נקודות שסובבת את אותה נקודה. פונקציות כאלה הן תמיד רציפות. רציפות כאן פירושה שאין קפיצות בערכים בקרבה של נקודות.
אם המרחב קשיר, כלומר אינו מתחלק לחלקים פתוחים נפרדים, אז כל פונקציה שקבועה באופן מקומי היא גם קבועה גלובלית. הרעיון להוכחה פשוט: עבור נקודה a בונים את שתי הקבוצות {x : f(x)=f(a)} ו-{x : f(x)≠f(a)}. שתי הקבוצות פתוחות, האיחוד שלהן הוא כל המרחב, והראשונה אינה ריקה. לכן בחלוקה כזו השנייה חייבת להיות ריקה, ומתקבל ש-f קבועה על כל המרחב.
במרחבים לא קשורים ניתן למצוא פונקציות קבועות מקומית שאינן קבועות. לדוגמה קיימות כאלה במרחב המספרים הרציונליים Q.
פונקציה קבועה נותנת תמיד את אותו ערך. "תחום" היא קבוצת הקלטים שלה. דוגמה פשוטה: f(x)=1, תמיד מחזירה 1. f(x)=x לא קבועה, כי הערכים משתנים.
הפונקציה הריקה היא כזאת שאין לה קלטים. בגלל זאת היא נחשבת קבועה, כי אין נקודות שמראות שינוי. חלק מהאנשים דורשים שהתחום לא יהיה ריק כדי לקרוא לפונקציה קבועה.
פונקציה קבועה באופן מקומי משמעותה: לכל נקודה יש סביבה קטנה שהערך שם לא משתנה. כלומר במקום קרוב ליד נקודה, הפונקציה קבועה.
פונקציות כאלה תמיד רציפות. רציפות אומרת שאין קפיצות בערכים.
אם המרחב "קשיר", כלומר הוא חלק אחד ולא מפוצל, אז אם פונקציה קבועה מקומית היא גם קבועה בכל מקום. עם זאת, במרחבים שמפוצלים אפשר למצוא פונקציות מקומית קבועות שאינן קבועות. לדוגמה יש כאלה ברציונליים Q.
תגובות גולשים