פונקציה תת-ליניארית

פונקציונל תת-ליניארי הוא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל השדה של הממשיים או המרוכבים. פונקציונל זה מקיים שתי תכונות עיקריות. הראשונה היא תת-חיבוריות: עבור כל וקטורים x,y מתקיים \rho(x+y)\le\rho(x)+\rho(y). השנייה היא הומוגניות חיובית: לכל סקלר לא-שלילי \lambda מתקיים \rho(\lambda x)=\lambda\rho(x).

הכרוכה בהומוגניות היא שהפונקציונל מתאפס בראשית, כלומר \rho(0)=0. ההומוגניות החיובית לא מבטיחה שוויון בין \rho(-x) ל-\rho(x), לכן לא תמיד הפונקציונל זוגי. מכל מקום, מתת-חיבוריות נובע כי לפחות אחד מבין \rho(x) ו-\rho(-x) הוא לא שלילי.

כפילה של פונקציונל תת-ליניארי בסקלר אי-שלילי נשמרת תת-ליניארית. הסכום של שני פונקציונלים תת-ליניאריים הוא גם תת-ליניארי. ההפרש לעומת זאת לא חייב להיות תת-ליניארי. גם המקסימום של שתי פונקציות תת-ליניאריות הוא תת-ליניארי: q(x)=\max(\rho_1(x),\rho_2(x)).

כל פונקציה תת-ליניארית היא קמורה. כלומר הערך בנקודת נקודת השילוב בין שני וקטורים אינו גדול מהשילוב של הערכים שלהם. להיפך, פונקציה שהיא תת-חיבורית וקמורה ומקיימת p(0)\le 0 היא תת-ליניארית.

מהקמירות והתת-חיבוריות ניתן להראות הומוגניות לחזקה אחת, ואז להרחיב זאת לכל סקלר חיובי. לכן תנאי ההגדרה מתקיים ו-p היא תת-ליניארית.

אם מרחב V מצויד בטופולוגיה מתאימה, ורוצים לבדוק רציפות של \rho, די ש-\rho תהיה רציפה בראשית. אז היא רציפה בכל נקודה, ואף רציפה במידה שווה (אחידה) על המרחב.

כל פונקציה ליניארית היא דוגמה לפונקציונל תת-ליניארי. פונקציונל הוא ליניארי אם ורק אם הוא אי-זוגי (\rho(-x)=-\rho(x)) וגם מינימלי ביחס הסדר הטבעי על פונקציונלים.
משפט האן-בנך (Hahn, Banach) משמש כדי למצוא פונקציה ליניארית f כך ש-f(x)\le\rho(x) לכל x, בהינתן פונקציונל תת-ליניארי \rho.

נורמה-למחצה היא פונקציה תת-חיבורית והומוגנית בהחלט, כלומר \rho(\lambda x)=|\lambda|\rho(x) לכל סקלר \lambda. נורמות-למחצה הן זוגיות וחיוביות. מכל פונקציונל \rho ניתן לבנות נורמה-למחצה משויכת על ידי q(x)=\max(\rho(x),\rho(-x)).

נורמה היא נורמה-למחצה שמוסיפה על זה חיוביות בהחלט: \rho(x)=0 רק אם x=0. נורמות חשובות בבניית מרחבי הילברט ובנחיית מרחבי בנך.

פונקציה חתוכה שמוגדרת כ-ax כאשר x\le 0 ו-bx אחרת, עם a\le b, היא דוגמה פשוטה לפונקציונל תת-ליניארי.

פונקציונל תת-ליניארי הוא כלל שנותן מספר לכל וקטור. וקטור הוא חץ במתמטיקה. חוק ראשון: אם מחברים שני וקטורים, הערך שלהם יחד לא גדול מסכום הערכים שלהם בנפרד. זה נקרא תת-חיבוריות, פירוש: הערך הכולל לא עולה על החיבור. חוק שני: אם כופלים וקטור במספר לא שלילי, הערך מוכפל באותו מספר. זה נקרא הומוגניות חיובית, פירוש: קנה מידה שומר על היחס.

מקרה מיוחד: הערך של הווקטור האפס הוא אפס. אי אפשר תמיד להגיד שהערך של -x שווה לערך של x. אבל לפחות אחד מהם לא יהיה שלילי.

אם מכפילים פונקציונל במספר לא שלילי, הוא נשאר תת-ליניארי. סכום של שני פונקציונלים כאלה נשאר גם כן תת-ליניארי. גם המקסימום של שני פונקציונלים כזה הוא תת-ליניארי.

פונקציה תת-ליניארית תמיד קמורה. קמירות פירושה: הערך של נקודה באמצע בין שתי נקודות לא גדול מהממוצע של הערכים שלהן.

כל פונקציה ליניארית היא גם תת-ליניארית. פונקציה ליניארית נותנת סכום וכפל מדויקים בלי אי-שוויון. יש משפט חשוב בשם האן-בנך שעוזר למצוא פונקציה ליניארית שנמצאת מתחת לפונקציונל התת-ליניארי.

נורמה-למחצה היא פונקציה עם אותם חוקים ועוד שהיא מקיימת החלפת סימן בשוויון באמצעות הערך המוחלט. נורמה היא נורמה-למחצה שעוד מוודאת שאם הערך הוא אפס אז הווקטור הוא האפס בלבד.

פונקציה שפושטת קו שונה לשמאל ולימין, למשל ax בצד אחד ו-bx בצד השני, עם a\le b, היא דוגמה לפונקציונל תת-ליניארי.