פונקציה רציפה (טופולוגיה)

פונקציה רציפה בטופולוגיה היא העברה בין מרחבים טופולוגיים שבה המקור (preimage) של כל קבוצה פתוחה בטווח הוא קבוצה פתוחה במקור. טופולוגיה היא דרך לתאר אילו נקודות "קרובות" זו לזו בלי להשתמש במרחקים. הגדרה זו מהרחיבה את המושג של רציפות לפונקציות ממשיות.

בחיי היום־יום, רציפות של פונקציה ממשית אומרת: ערכים בנקודות קרובות נותנים ערכים קרובים. בטופולוגיה מחליפים את רעיון "קרבה" בדרישה שיש הרבה קבוצות פתוחות שמכילות את הנקודה.

נניח X ו-Y הם מרחבים טופולוגיים ו-f היא פונקציה מ-X ל-Y. אומרים ש-f רציפה בנקודה x_0 אם לכל קבוצה פתוחה U שמכילה את f(x_0) יש קבוצה פתוחה V שמכילה את x_0 כך ש‑f(V)
מוכלת ב‑U. כלומר, אפשר למצוא סביבת מקור שמועתקת אל תוך סביבת הטווח.

פונקציה היא רציפה בכל המרחב אם היא רציפה בכל נקודה. ניסוח שקול וקצר יותר: f רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה ב‑Y הוא קבוצה פתוחה ב‑X. כאן "מקור" פירושו הקבוצה של כל הנקודות שמועברות אל אותה קבוצה בטווח.

במרחבים מטריים, אותה הגדרה נתקבלת כגישה האפרמטרית המוכרת: לכל כדור קטן סביב f(x) קיים כדור סביב x ש‑f מעתיקה אותו לתוך הכדור בטווח. בכך ההגדרה הטופולוגית מתאימה להגדרות המסורתיות של ויירשטראס והיינה.

כמה ניסוחים שקולים של רציפות:
- הבדיקה מספיקה על תת־בסיס של הטופולוגיה ב‑Y.
- אפשר להחליף "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה" ולקבל טענה שקולה.
- f רציפה בנקודה לכל x אם לכל סביבה V של f(x) יש סביבה W של x עם f(W) ⊆ V. (סביבה = קבוצה שמכילה נקודה ועוד נקודות קרובות אליה.)
- לכל A⊆X מתקיים: f(closure(A)) ⊆ closure(f(A)). כלומר תמונה של סגור נשמרת תחת סגירה.

קיימת נקודת מבט באמצעות הגרף של פונקציה, כלומר הקבוצה של זוגות (x,f(x)) במכפלה X×Y. תחת תנאים מתאימים על המרחבים (כגון תנאים חושבים על האוסדורף וקומפקטיות כפי שמוזכר), רציפות של f מתבטאת בכך שהגרף שלה הוא קבוצה סגורה במרחב המכפלה.

פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום. קומפקטיות כאן היא תכונה טופולוגית שמבטיחה שהמרחב "קטן" במובן מתאים. יש מרחבים שבהם לכל פונקציה ממשית רציפה יש מקסימום אך הם אינם קומפקטיים; כאלה נקראים פסאודו‑קומפקטיים.

התכונה הדואלית לרציפות היא היות פונקציה פתוחה: פונקציה כזו שולחת כל קבוצה פתוחה במקור לקבוצה פתוחה בטווח. אין שוויון מלא בין שתי התכונות: פונקציה פתוחה אינה חייבת להיות רציפה ולהפך. פונקציה שהיא גם חד‑חד‑ערכית וגם על, ושגם היא וגם ההפכית לה רציפות, נקראת הומיאומורפיזם.

דוגמה חשובה: פונקציות ההטלה (projections) ממכפלת מרחבים אל אחד מרכיביה הן פתוחות. בפיתוח מרחבי מנה משתמשים בהיטל ובאופן טבעי מקבלים פונקציות רציפות בין המרחבים הנוצרים.

פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק.

פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לתוך סביבת הטווח.

יש דרכים שונות לבדוק רציפות. ניתן לבדוק רק על קבוצות מסויימות שמבנות את הטופולוגיה. במקום "פתוחה" אפשר גם להשתמש ב"סגורה". אפשר גם לומר שרציפה אם תמיד תמונות של קבוצות סגורות נשארות בתוך סגירות התמונה.

כאשר מרחב הוא קומפקטי (זה אומר שהוא "קטן" במובן טופולוגי), כל פונקציה ממשית רציפה עליו מקבלת ערך מקסימלי. יש מרחבים שדומים לזה אבל לא זהים, קוראים להם פסאודו‑קומפקטיים.

פונקציה פתוחה שולחת כל קבוצה פתוחה לקבוצה פתוחה. זה לא תמיד אותו דבר כמו רציפות. דוגמה: פונקציית ההיטל מהמכפלה אל אחד המרכיבים היא פתוחה.