ציון תקן

ציון תקן (או ציון z) מראה כמה מרחוק ערך נמצא מהממוצע, ביחידות של סטיית תקן. תוחלת היא הממוצע של האוכלוסייה. סטיית תקן היא מדד לפיזור הערכים סביב הממוצע. תהליך חישוב הציון נקרא תקנון או נירמול.

כדי לחשב את ציון התקן של תצפית בודדת מניחים שהאוכלוסייה מתפלגת נורמלית (כמו עקומת פעמון), ושהממוצע (μ) והסטיית תקן (σ) ידועים. אם הערך הוא x, הציון מחושב כך:

Z_x = (x - μ) / σ

כאשר מחשבים ציון עבור ממוצע של מדגם בגודל n, משתמשים בפיזור של ממוצעי המדגם. נרשום את ממוצע המדגם כ־X̄. התפלגות הממוצעים היא נורמלית עם שונות σ^2/n. ציון התקן של ממוצע המדגם הוא:

Z_{X̄} = (X̄ - μ) / (σ / √n)

שים לב: כאשר n = 1 זה חוזר לנוסחה של התצפית הבודדת.

אם X מתפלג נורמלית עם תוחלת μ ושונות σ^2, אז Z = (X - μ)/σ הוא משתנה נורמלי סטנדרטי. כלומר Z מתפלג N(0,1), תוחלת 0 ושונות 1. את פונקציית ההצטברות של Z מסמנים בדרך כלל ב־Φ(z).

ציון התקן אומר לנו שני דברים: הגודל והכיוון. הערך המוחלט |z| מראה כמה סטיות תקן אנו רחוקים מהממוצע. הסימן (+ או −) מראה אם אנחנו מעל או מתחת לממוצע. ציון גבוה במוחלטו מצביע על תוצאה נדירה יותר לפי ההתפלגות הנורמלית. בעזרת התקנון אפשר להשוות ערכים משתי אוכלוסיות שונות אפילו אם המדדים בהם שונים.

ציון התקן נפוץ במדעי החברה, בטבע וברפואה. הוא עוזר לדעת אם מדגם מתאים לאוכלוסייה, ולהעריך הסתברויות בלי להיות תלויים בסולם המדידה המקורי.

נניח שמנת המשכל (IQ) באוכלוסייה מתפלגת כ־N(100,15^2). רוצים לדעת מה ההסתברות לאדם עם IQ של 135 או יותר. מחשבים:

Z = (135 - 100) / 15 = 2.33

מתקבל שכנראהות כ־0.99% שאדם מקרי יהיה כזה. כלומר זה נדיר מאוד.

שני מועמדים סיימו בתואר עם ציון 85. באוניברסיטה A הממוצע הוא 80 וסטיית התקן 10. באוניברסיטה B הממוצע הוא 80 וסטיית התקן 5. מתקננים:

המועמד מ־A: Z = (85 - 80) / 10 = 0.5
המועמד מ־B: Z = (85 - 80) / 5 = 1

לכן המועמד מ־B הצטיין יותר יחסית לסטודנטים שלו. גם ציון של 84 ב־B נותן Z = 0.8, כלומר עדיין גבוה יחסית.

ציון תקן (ציון z) אומר כמה רחוק ערך מהממוצע. הממוצע זה ה"מרכז" של כל הערכים. סטיית תקן היא כמה הערכים מתפזרים סביב הממוצע.

כדי למצוא ציון תקן לוקחים את ההפרש בין הערך לממוצע. אחר כך מחלקים בסטיית התקן. כך מקבלים כמה סטיות תקן הערך גבוה או נמוך מהממוצע.

כשיש ממוצע של קבוצה קטנה, משתמשים בסטיית התקן של הממוצעים. אם המדגם גדול יותר, הסטייה של הממוצע קטנה יותר.

ציון חיובי אומר שהערך מעל הממוצע. ציון שלילי אומר שהערך מתחת לממוצע. ציון גדול אומר שזה נדיר יחסית.

IQ: ממוצע IQ הוא 100. סטיית התקן היא 15. אדם עם IQ של 135 הוא על כ־2.33 סטיות תקן מעל הממוצע. זה נדיר, בערך 1 מתוך 100 אנשים.

השוואה בין סטודנטים: שניים קיבלו ציון 85. בשתי אוניברסיטאות הממוצע הוא 80. באוניברסיטה A הסטיית תקן היא 10. באוניברסיטה B היא 5. לכן הציון 85 טוב יותר יחסית ב־B מאשר ב־A.