צפיפות שנירלמן

בתרת המספרים, צפיפות שנירלמן היא מדד שמראה עד כמה קבוצה A של מספרים "מלאה" בתוך המספרים הטבעיים. תורת המספרים האדיטיבית עוסקת בסכומים של איברים מקבוצות, כמו בשאלות גולדבך או בבעיות וארינג.

אם A קבוצה של מספרים טבעיים, נגדיר A(n) כאיברי A שקטנים או שווים ל-n. צפיפות שנירלמן δ(A) היא המספר הגדול ביותר כך שלכל n מתקיים |A(n)| ≥ δ(A)·n. בהגדרה זו משתמשים באינפימום של היחס |A(n)|/n על כל n.

לכל קבוצה 0 ≤ δ(A) ≤ 1. צפיפות 1 מתקבלת רק אם A כוללת את כל המספרים הטבעיים החל מ-1. לכל קבוצה סופית יש צפיפות 0. גם קבוצות כמו כל הריבועים או הראשוניים נותנות δ=0. אם קבוצת A לא מכילה את המספר 1, אז δ(A)=0. סדרה אריתמטית כמו 1+nN (כלומר, מספרים שמתחילים ב-1 וקופצים ב-n) נותנת צפיפות של 1/n.

צפיפות שנירלמן רגישה מאוד לערכים הראשונים של הקבוצה. זאת בניגוד למדדים אחרים, כמו גבולות תחתון ועליון של |A(n)|/n, שאינם משתנים כשמסירים או מוסיפים מספרים בודדים. למרות הרגישות הזו, המדד שימושי בתורת המספרים האדיטיבית.

שנירלמן השתמש בשיטת הנפה שלו להראות שקבוצת P+P, סכומי שני ראשוניים (P כולל גם 0 ו-1 כאן), יש לה צפיפות חיובית. משם הסיק שכל מספר שלם ניתן להציג כסכום של עד 300,000 ראשוניים. זו לא התוצאה הסופית שגולדבך חיפש, אך היה זה צעד משמעותי קדימה.

שנירלמן הוכיח שאם δ(A)+δ(B) ≥ 1 אז A+B מכסה את כל המספרים הטבעיים. בנוסף הראה את האי־שוויון δ(A+B) ≥ δ(A)+δ(B)−δ(A)δ(B). מסקנה שימושית היא שכשמגדילים m, הצפיפות של mA (סכומים של m איברים של A) מתקרבת ל-1 במהירות: 1−δ(mA) ≤ (1−δ(A))^m. לכן, אם A בעלת צפיפות חיובית, אז עבור m גדול מספיק צפיפות mA עולה על חצי, וממילא כל מספר יכול להיות מוצג כסכום של 2m איברים מ-A.

הניחוש שהאי־שוויון הפשוט δ(A+B) ≥ δ(A)+δ(B) נכון כשהסכום קטן מ-1 הוכח על ידי H.B. Mann ב-1941. כמו כן, קיימות תוצאות נוספות משתמשות בצפיפות שנירלמן; למשל ארדש ו-van der Corput הוכיחו שיש אינסוף זוגות זוגיים שאי־אפשר לכתוב כראשוני ועוד ריבוע, וקבוצת המספרים האלה בעלת צפיפות חיובית.

צפיפות שנירלמן בודקת כמה מספרים מקבוצה A נמצאים בין המספרים הראשונים. זה כלי בשדה שנקרא תורת המספרים האדיטיבית. שם חוקרים סכומי מספרים מקבוצות שונות.

A(n) הוא כל מה שב-A ועד המספר n. צפיפות שנירלמן היא המספר הגדול δ כזה שלכל n יש לפחות δ·n איברים של A עד n. כלומר, זה אומר איזה חלק מהמספרים הראשונים שייכים ל-A.

התוצאה תמיד בין 0 ל-1. אם כל המספרים נמצאים ב-A, הצפיפות היא 1. אם A סופית, הצפיפות היא 0. גם קבוצת המספרים הראשוניים נותנת צפיפות 0. סדרה כמו 1,1+n,1+2n,... נותנת צפיפות של 1 חלקי n.

צפיפות שנירלמן מושפעת מאוד אם מסירים מספרים קטנים. שנירלמן הראה שסכום של שני ראשוניים מכסה חלק גדול מהמספרים. הוא גם הראה שכל מספר ניתן לכתוב כסכום של עד 300,000 ראשוניים. יש משפטים שמקשרים את הצפיפויות של שתי קבוצות לצפיפות של הסכום שלהן. חוקרים המשיכו לחקור ולשפר את התוצאות האלה.