קבוצה אינסופית, קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כלומר אין לה מספר סופי של איברים. קבוצות אינסופיות חשובות בתורת הקבוצות ובענפים אחרים של המתמטיקה.\n\nבתורת הקבוצות האקסיומטית קיימת אקסיומת האינסוף (אקסיומת הקבוצה האינסופית), כלל שמבטיח שקיימת לפחות קבוצה אינסופית.\n\n=דוגמאות לקבוצות אינסופיות=\nדוגמה פשוטה היא קבוצת המספרים הטבעיים 1,2,3,... וקבוצת המספרים הזוגיים 2,4,6,.... אפשר ליצור התאמה חד-חד ערכית (שקילות) בין שתי קבוצות אלה בעזרת ההצמדה n↦2n. משמעותה של שקילות היא שיש התאמה שמחברת כל איבר באחת לאיבר יחיד בשנייה, ולכן שתי הקבוצות בעלות אותה עוצמה. רעיון זה הוביל לפרדוקס של גלילאו, שגם קבוצת כל המספרים נראית שווה בגודלה לקבוצת הזוגיים.\n\nריכרד דדקינד הציע הגדרה פורמלית: קבוצה אינסופית היא כזו שיש לה תת-קבוצה ממשית (חלקית) שקולה לה. באופן שקול: קבוצה A אינסופית אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית (כל איבר מקבל תמונה שונה) מ‑A ל‑A שאינה על (לא מקיפה את כל A).\n\nכששתי קבוצות אינסופיות שקולות, אומרים שהן בעלות אותה עוצמה. קבוצת המספרים הטבעיים היא בת-מנייה, אפשר למנות את איבריה לפי המספרים הטבעיים, וכך גם קבוצות שקולות לה, כמו הזוגיים. מולן עומדת תגליתו של גאורג קנטור: באמצעות אלכסון קנטור הוכיח שקבוצת המספרים הממשיים אינה בת-מנייה. כלומר, יש סוג של אינסוף גדול יותר.\n\nתכונות אלה עלולות להראות מפתיעות למי שרגיל רק לקבוצות סופיות. המחשה ידועה היא סיפור "מלון הילברט", המראה תופעות לא אינטואיטיביות של אינסוף.
קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש לה הרבה איברים. הרבה כל כך שאי אפשר לספור כולם עד הסוף.\n\nבמתמטיקה יש כלל שנקרא אקסיומת האינסוף. זה אומר שיש לפחות קבוצה כזו.\n\n=דוגמאות לקבוצות אינסופיות=\nהמספרים הטבעיים הם דוגמה: 1,2,3,...\nגם המספרים הזוגיים הם דוגמה: 2,4,6,...\nאפשר לקשר כל מספר טבעי למספר הזוגי שהוא הכפולה שלו. כך רואים שהשתי הקבוצות "באות באותו גודל".\n\nחוקרים תיארו דרכים שונות להגיד מתי קבוצה היא אינסופית. אחד מהם אמר: אם אפשר למצוא תת-קבוצה שעדיין שווה לגומתה, אז הקבוצה אינסופית.\n\nיש אינסופים שונים. למשל, המספרים הממשיים (כל המספרים עם נקודה אחרי האמצע) גדולים יותר ממספרי הטבעיים. זה הוכיח מתמטיקאי בשם קנטור.\n\nכדי להראות איך אינסוף יכול להפתיע, יש סיפור מפורסם שנקרא "מלון הילברט". הסיפור מראה שדברים מוזרים קורים כשיש אורחים בלי סוף.
תגובות גולשים