ריכרד דדקינד
יוליוס ריכרד דדקינד (1831, 1916) היה מתמטיקאי גרמני. מתמטיקאי = אדם שחוקר מספרים. הוא נולד בבראונשווייג וגר עם אחותו. הוא לא התחתן. דדקינד למד בגטינגן. שם סיים דוקטורט אצל גאוס. גאוס היה מדען מפורסם. דדקינד המציא דרך לקרוא למספרים ממשיים בשם חתכי דדקינד. חתכי דדקינד = מפרידים את כל המספרים הרציונ...
חתכי דדקינד
חתכי דדקינד הם דרך לבנות את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים. ריכרד דדקינד הציע את הרעיון ב-1872. חתך מחלק את המספרים הרציונליים לשתי קבוצות A ו-B. כל מספר ב-A קטן מכל מספר ב-B. וגם ב-A אין מספר הכי גדול. לדוגמה, עבור מספר רציונלי r אפשר להפריד את אלה שקטנים מ-r ואת אלה שגדולים או שווים ל-r. ...
אידיאל ראשוני
אידיאל ראשוני הוא קבוצת אלמנטים בחוג. חוג הוא מערכת של מספרים עם חיבור וכפל. אם מכפלת שני איברים נכנסה לאידיאל, אז אחד מהאיברים כבר שם. בדוגמה מוכרת, במספרים השלמים (הז), האידיאל שנוצר על ידי n הוא ראשוני אם n הוא מספר ראשוני. כל אידיאל מקסימלי תמיד ראשוני. ניתן "למקד" את החוג סביב אידיאל ראשוני P...
שדה המספרים הממשיים
המספרים הממשיים הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר. קוראים לזה "הישר הממשי". אפשר למדוד איתם מרחקים ולשים נקודות במישור. באמצעות הממשיים אין "חורים" בישר. אם יש קבוצה של מספרים שיש לה גבול עליון, אז יש גם את הגבול הקטן ביותר שנמצא מעל כולם. זה אומר שהישר שלם ולא חסר נקודות. הממשיים הם הרבה יותר מ"רשי...
שדה גלובלי
שדה גלובלי הוא שדה שבו עובדת נוסחת המכפלה. אמיל ארטין ו- C. Nesbitt הראו ששדות כאלה שייכים לשתי קבוצות עיקריות. להשלמות של שדות אלה יש מבנה נומרי מיוחד שמכונה שדה מקומי (שדה עם רעיון של קרבה). נוסחת המכפלה אומרת: בוחרים מדדים של גודל לכל מקום בשדה, וכשכופלים את כל הגדלים של מספר x שאינו אפס מקבלי...
קבוצה אינסופית
קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש לה הרבה איברים. הרבה כל כך שאי אפשר לספור כולם עד הסוף.\n\nבמתמטיקה יש כלל שנקרא אקסיומת האינסוף. זה אומר שיש לפחות קבוצה כזו.\n\n=דוגמאות לקבוצות אינסופיות=\nהמספרים הטבעיים הם דוגמה: 1,2,3,...\nגם המספרים הזוגיים הם דוגמה: 2,4,6,...\nאפשר לקשר כל מספר טבעי למספר הזוגי ...
0.999...
שיטה רגילה לכתוב מספרים היא בעזרת נקודה ועשרות. למשל 13.4 אומר שיש 13 ולפחות חלק נוסף. אם אחרי הנקודה יש ספרות שנמשכות לעד, קוראים לזה פיתוח עשרוני אינסופי. זה אומר שלוקחים סכום קטן־קטן של חלקים, וממשיכים לנצח. הביטוי 0.999... אומר שיש אין־סוף תשיעיות אחרי הנקודה. במתמטיקה מקובל שאותו הביטוי שווה ...
שדה ארכימדי
שדה ארכימדי הוא סוג של מערכת מספרים. שדה זה לא יכול להכיל מספר שהוא גדול מכל מספר טבעי. שדה זה דומה לקבוצה של מספרים שיש בה חיבור וכפל. סדור אומר שיש בה סדר בין המספרים. דוגמה: המספרים הממשיים הם ארכימדיים. שדה טורי לורן הוא לא ארכימדי. השם מגיע מארכימדס. הוא הראה שאפשר להשוות קטעים על ידי העתקתם...
מערכות מספרים
יש הרבה סוגים של מספרים. בתחילה השתמשו במספרים רק לספור. הטבעיים הם 1, 2, 3, וכן הלאה. הם משמשים לספירה. השלמים מוסיפים מספרים שליליים. הם מייצגים הבדלים וחוב. הרציונליים הם השברים. הם מאפשרים חילוק כמו חצי או שלושה רבועים. הממשיים כוללים גם מספרים שלא אפשר לכתוב כשבר. דוגמה היא שורש־2 ופי. הם ח...
מספר ממשי
מספר ממשי הוא כל מספר על הישר המספרי. אפשר לראות אותו כנקודה על קו אינסופי. דוגמאות פשוטות: 3, -4, 1/3 ו‑π. π (פי) הוא מספר שאפשר להשתמש בו בעיגול; בערך הוא 3.14. ממשיים משמשים למדידת דברים רציפים. למשל טמפרטורה ומרחק. כבר אצל היוונים ראו שיש מספרים שנובעים יחס של אורכים, כמו שורש 2. מאוחר יותר במ...
חשבון אינפיניטסימלי
חשבון אינפיניטסימלי הוא חלק במתמטיקה שעוסק בשינוי. רעיון חשוב הוא גבול. גבול זה אומר שהמספר מתקרב אליו יותר ויותר. החשבון נחלק לשתי חלקים: חישוב נגזרות וחישוב אינטגרלים. נגזרת היא קצב השינוי. אינטגרל הוא סכום גדול, לעתים שטח מתחת לעקומה. המשפט היסודי אומר שאם עושים נגזרת ואחר כך אינטגרל חוזרים למ...