קואורדינטות

קואורדינטות (שיעורים) הן קבוצת מספרים שמציינת את מיקומו של גוף במרחב. מערכת קואורדינטות היא הבחירה של צירים או שיטה לתיאור המרחב. הבחירה של המערכת היא עדתית, אבל יש מערכות שנוחות יותר לתיאור מצבים מסוימים.

בגאוגרפיה משתמשים בקווי אורך וקווי רוחב כדי למקם נקודות על פני כדור הארץ. קווי האורך והרוחב יוצרים רשת שנראית כשתי סדרות של קווים החותכים זו את זו בזווית ישרה (מערכת אורתוגונלית). עם זאת, זו לא אותה מערכת כמו קואורדינטות קרטזיות בגלל העיקול של פני הכדור. נקודה על מפה בת שתי־ממדית מתוארת על ידי שני מספרים, כמו (a,b). בקואורדינטות תלת־ממדיות מוסיפים רכיב נוסף, למשל (a,b,c). במפות טופוגרפיות לפעמים משתמשים ברשת קואורדינטות שרירותית, שאינה מבוססת על קווי אורך ורוחב.

במתמטיקה, בפיזיקה ובהנדסה, מערכת קואורדינטות מתאימה לכל נקודה במרחב סדרה של מספרים. בדרך כלל אלה מספרים ממשיים. ברמה פורמלית, מערכת כזו מורכבת מ-n פונקציות חלקות שממפות את התחום אל הערכים הממשיים. משמעות הדבר היא שכל נקודה מקבלת n מספרים.

במקרים של יריעות ועקומות, לא תמיד ניתן לכסות את כל המרחב במערכת קואורדינטות אחת. אז משתמשים בכמה מערכות שמכסים חלקים שונים, ומחברים אותן בחלקים החופפים באופן חלק. חבורות לי עוסקות בין השאר ביחסים בין מערכות קואורדינטות בנקודות שונות על אותה יריעה.

במרחב אוקלידי, הקואורדינטות הקרטזיות הן הבסיס הטבעי. כל נקודה מתוארת כווקטור בעל n רכיבים. חיבור וקטורים וכפל בסקלר מתבצעים רכיב־רכיב. המכפלה הפנימית (dot product) בין שני וקטורים מתקבלת כסכום מכפלות הרכיבים שלהם. בווקטורות במערכת קרטזית, וקטורי הבסיס קבועים ואורתונורמלים, ולכן אפשר להזיז וקטור באופן מקבילי בכל המרחב. במרחבים עקומים תכונה זו עלולה להיכשל.

המרחב קיים בפני עצמו, והקואורדינטות הן רק דרך לתאר אותו. יש תכונות שאינן תלויות בבחירת הקואורדינטות; תכונות כאלה נקראות אינווריאנטים. שינוי קואורדינטות נחשב בדרך כלל כפעולה פסיבית: לא משנים את האובייקטים, אלא את דרך התיאור שלהם.

יהי V מרחב וקטורי ונניח שתי מערכות קואורדינטות שונות, x ו-y. לכל וקטור v יש שתי הצגות ביחס לבסיסים השונים. אם נשווה בין הבסיסים נקבל מטריצת מעבר M שמקשרת ביניהם. הסבר חישובי מוביל לכלל ההתמרה של הקואורדינטות: הרכיבים החדשים הם שילוב ליניארי של הרכיבים הישנים, לפי מטריצת המעבר. וקטורים שמתנהגים כך נקראים וקטורים קונטרה-וריאנטים, מאחר שהקואורדינטות שלהם משתנות ביחס לבחירת הבסיס.

קואורדינטות הן קבוצה של מספרים שמראות היכן נקודה נמצאת במרחב. מערכת קואורדינטות היא הדרך שבה בוחרים לציין את המספרים האלה.

במפות משתמשים בקווי אורך וקווי רוחב כדי למצוא מקומות על כדור הארץ. קווים אלה יוצרים רשת. בגלל שכדור הארץ עגול, הרשת אינה זהה לרשת שטוחה. כדי למצוא מקום במפה נתונים שני מספרים, למשל (a,b). אם רוצים גם גובה מוסיפים מספר שלישי, כך מקבלים (a,b,c).

במתמטיקה מקצים לכל נקודה מספרים. אם המרחב יש בו n ממדים, נותנים n מספרים לכל נקודה. לעיתים המרחב מעוקם. אז לא ניתן לכסות את כל המשטח במערכת אחת. משתמשים בכמה "מפות" קטנות שמתחברות ביחד.

במרחב שטוח ופשוט (אוקלידי) יש קואורדינטות קרטזיות. שם כל נקודה היא וקטור עם מספרים. כדי להוסיף וקטורים מכפילים מספר וחותכים עושים זאת רכיב אחרי רכיב. כדי למדוד דמיון בין וקטורים מחשבים סכום של מכפלות הרכיבים שלהם.

הקואורדינטות רק מתארות את המרחב. אפשר לשנות את שיטת הסימון בלי לשנות את המרחב עצמו. כשמשנים שיטה, משתמשים במטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. הטבלה הזאת אומרת איך להפוך את המספרים הישנים לחדשים. וקטורים שהקואורדינטות שלהם משתנות לפי הטבלה נקראים קונטרה-וריאנטים.