תכונת החיתוך הסופי

אוסף קבוצות מקיים את תכונת החיתוך הסופי אם לכל תת-אוסף סופי ממנו החיתוך אינו ריק.
מקרה טריוויאלי הוא כשחיתוך כל הקבוצות אינו ריק, אבל זה לא נחוץ תמיד. לדוגמה, המשפחה של הקטעים (0,1/n) עבור n ב-נמר אינה בעלת חיתוך כולל, אך לכל תת-אוסף סופי יש חיתוך לא ריק.
מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי אם ורק אם לכל אוסף של קבוצות סגורות שמקיים את תכונת החיתוך הסופי, החיתוך הכולל של אותן קבוצות אינו ריק. (קבוצה סגורה = המשלים שלה פתוח.)
1) נניח ש-X קומפקטי לפי ההגדרה הרגילה של כיסויים פתוחים. אם יש אוסף סגור עם תכונת החיתוך הסופי ונניח שהחיתוך הכולל ריק, אז המשלימים שלהם הם כיסוי פתוח של X. מתוך קומפקטיות נחלץ תת-כיסוי סופי, ובתוך אותו תת-אוסף הסופי החיתוך ריק, סתירה לתכונה.
2) להפך, נניח ש-X מקיים את ההגדרה עם תכונת החיתוך הסופי. אם קיים כיסוי פתוח של X שאין לו תת-כיסוי סופי, אז המשלימים של קבוצות הכיסוי הם אוסף סגור שמקיים את תכונת החיתוך הסופי. לפי ההנחה החיתוך הכולל שלהם אינו ריק, כלומר הכיסוי לא מקיף באמת את X, סתירה. לכן כל כיסוי פתוח מחזיק תת-כיסוי סופי, וזאת קומפקטיות בהגדרה הרגילה.

אוסף קבוצות יש לו את תכונת החיתוך הסופי אם בכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת. חיתוך = הנקודות שמופיעות בכל הקבוצות.
לדוגמה, יש משפחה של קטעים שמתקצרים כל פעם. לכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת, אבל אין נקודה שמשותפת לכולם.
קומפקטי (קומפקטיות) אומר: אם כל נקודה במרחב מכוסה על ידי רשימת קבוצות פתוחות, אז אפשר לבחור מתוכן מספר סופי של קבוצות שעדיין מכסות את כל המרחב. כיסוי פתוח = רשימת קבוצות פתוחות שמכסה את כל המרחב.
אם יש לנו קומפקטיות לפי כיסויים, אז אי אפשר שיהיה אוסף סגור עם תכונת החיתוך הסופי וחיתוך ריק. כי הרי המשלימים היו יוצרים כיסוי פתוח, ומשם אפשר לקחת תת-כיסוי קטן. ההפך נכון גם: אם תמיד החיתוך של אוספים סגורים עם התכונה אינו ריק, אז כל כיסוי פתוח חייב להכיל תת-כיסוי סופי. זו אותה הרעיון בשתי דרכים.