משלים (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות, "משלים" של קבוצה G הוא הקבוצה של כל האיברים שאינם ב‑G. זה תמיד ביחס לקבוצה U, שהיא הקבוצה האוניברסלית, כלומר כל האיברים שאנחנו שוקלים בהקשר הזה.

איחוד (כל האיברים משתי הקבוצות) של G והמשלים שלה מחזיר את U. חיתוך (האיברים המשותפים) של G והמשלים שלה הוא הקבוצה הריקה.

יהיו U קבוצה ו‑G תת־קבוצה שלה. אז המשלים של G ב‑U מוגדר כ‑G^\complement = U − G. זהו כל איבר ב‑U שאינו שייך ל‑G. סימונים נוספים הם G', \complement_U G, \overline G ו‑−G. יש לשים לב שהסימון \overline G עלול להתנגש עם שימושים אחרים של הקו העליון.

נבחרה קבוצת N של כל המספרים הטבעיים. אם A היא קבוצת המספרים הזוגיים (מספרים שמתחלקים ב‑2), אז המשלים של A ביחס ל‑N הוא קבוצת המספרים האי‑זוגיים. חיתוך A עם המשלים שלה פנוי, ואיחודן יוצר את N.

המשלים של המשלים של קבוצה מחזיר את הקבוצה המקורית. חיתוך קבוצה עם המשלים שלה הוא ריק. איחוד קבוצה עם המשלים שלה הוא הקבוצה האוניברסלית. המשלים של U הוא הקבוצה הריקה, והמשלים של הקבוצה הריקה הוא U.

כללי דה מורגן מקשרים משלים, חיתוך ואיחוד. למשל:
המשלים של החיתוך של A ו‑B שווה לאיחוד המשלים של A ו‑B.
והמשלים של האיחוד של A ו‑B שווה לחיתוך המשלים שלהן.

משלים של קבוצה הוא כל מה שלא שייך לה. קבוצה היא אוסף של דברים.
כל הדבר הזה הוא ביחס ל־U. U זו הקבוצה הגדולה הכוללת את כל הדברים שאנחנו בוחנים.

אם U היא הקבוצה הגדולה ו‑G היא קבוצה שבתוכה, אז המשלים של G הוא כל מה שנמצא ב‑U אבל לא ב‑G.

נסתכל על כל המספרים הטבעיים. קחו את המספרים הזוגיים. המשלים שלהם הם המספרים האי‑זוגיים.
האיחוד של הזוגיים והאי‑זוגיים נותן את כל המספרים הטבעיים.
והחיתוך שלהם הוא ריק, כלומר אין מספר ששייך לשתיהן.

אם עושים משלים פעמיים חוזרים לקבוצה המקורית. המשלים של הקבוצה הגדולה הוא ריק. המשלים של ריקה הוא הקבוצה הגדולה.

המילה החשובה כאן: המשלים של "וגם" נהפך ל"או" של המשלים. והמשלים של "או" נהפך ל"וגם" של המשלים.