אקסיומת המקבילים
אוקלידס, מתמטיקאי מן העת העתיקה, כתב כלל חשוב בגאומטריה. אקסיומה היא כלל בסיסי שלא הוכיחו. אקסיומת המקבילים אומרת בקיצור: דרך נקודה שמחוץ לקו אפשר לעבור רק קו אחד שמקביל לקו ההוא. אוקלידס בנה את הגאומטריה מתוך כמה הנחות פשוטות. הארבע הראשונות קצרות. החמישית ארוכה ומיוחדת. לכן היא זכתה לשם מיוחד. ...
גאומטריה לא-אוקלידית
גאומטריה לא-אוקלידית היא דרך שונה לעשות גאומטריה. היא שונה מכללים מסוימים של אוקלידס. אקסיומה (אקסיומה = כלל בסיסי) חשובה היא אקסיומת המקבילים. באוקלידס יש בדיוק קו אחד שעובר דרך נקודה ואינו פוגש קו אחר. בגאומטריה היפרבולית יש רבים מאוד קווים דרך אותה נקודה שאינם נפגשים בקו הנתון. בגאומטריה הספרית...
אקסיומה
אקסיומה היא רעיון שמקבלים כנכון בלי להוכיח. (הנחה = רעיון שמתחילים ממנו.) במתמטיקה בונים על אקסיומות. הן משמשות כנקודת מוצא להוכחות ולכללים. חשוב שהאקסיומות לא יתנו סתירה אחת לשנייה. יש מקרים שגילו שאפשר לשנות אקסיומה ולקבל גאומטריה אחרת. זה קורה עם אקסיומת המקבילים לגאומטריה. בפיזיקה אקסיומה היא ...
מערכת האקסיומות של הילברט
דויד הילברט בנה ב-1899 קבוצה של 20 אקסיומות. אקסיומה היא הנחה בסיסית שלא מוכיחים. המטרה הייתה לבנות חוקי יסוד לגאומטריה, במקום התיאורים הישנים של אוקלידס. המערכת מדברת על שלושה דברים בסיסיים: נקודה (נקודה = מיקום בלי גודל), ישר (קו שאפשר להושיט בלי כיפוף) ומישור (משטח שטוח). יש גם יחסים חשובים: ח...
ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם קווים באותו מישור שאינם נפגשים. ("מישור" = משטח שטוח.) אקסיומת המקבילים אומרת: דרך נקודה מחוץ לקו אפשר להעביר רק קו אחד שאינו נפגש עם הקו ההוא. כשקו חותך שני ישרים, נוצרים כמה זוויות. "זוויות" הן פינות שנוצרות בין קווים. "זוויות חד-צדדיות" הן שתי זוויות שנמצאות מאותו צד של הקו ה...
גאומטריה היפרבולית
על משטח היפרבולי גאומטריה היפרבולית היא דרך אחרת לתאר שטח. אוקלידית היא הגאומטריה הרגילה. אקסיומה היא כלל בסיסי. כאן החליפו את כלל המקבילים: דרך נקודה מחוץ לישר עוברים יותר משורה אחת שאינו חותך את אותו ישר. זה דומה לגאומטריה הרגילה בהרבה דברים, אבל יש הבדלים חשובים. צריך ללמוד מושגים חדשים. רק ...
גאומטריה אוקלידית
גאומטריה אוקלידית מדברת על נקודות, קווים ומעגלים. נקודה היא נקודה קטנה בלי גודל. ישר הוא קו ארוך שאפשר להמשיך אותו בלי סוף. מעגל הוא קו סביב נקודת מרכז במרחק קבוע. זווית היא הפינה בין שני קווים. היוונים קבעו חוקים פשוטים שעוזרים לבנות משפטים. החוקים העיקריים: 1. אפשר לצייר קו ישר בין שתי נקודות. 2....
ניקולאי לובצ'בסקי
ניקולאי לובצ'בסקי (1792, 1856) היה מתמטיקאי מרוסיה. הוא המציא דרך חדשה לחשוב על מרחב. דרך זו נקראת גאומטריה היפרבולית. זו גאומטריה (דרך ללמוד צורות ומרחב) שונה מזו של אוקלידס. הוא נולד בניז'ני נובגורוד. כשהיה ילד המשפחה עברה לעיר קאזאן. למד באוניברסיטה של קאזאן והפך למורה ואחר כך לרקטור, המנהל של ה...