מספר מרוכב
מספר מרוכב הוא מספר בצורת a+bi. כאן a ו־b הם מספרים רגילים. האות i היא מספר מיוחד שמקיים i^2 = -1. זה אומר שאם מכפילים i בעצמו מקבלים -1. המספרים המרוכבים הופיעו בתחילת המאה ה־16. קרדאנו השתמש בהם כדי לפתור משוואות. ראשית חשבו שהם "מדומים". רק אחר־כך קיבלו אותם מתמטיקאים כמו אוילר וגאוס. אפשר לראו...
המישור המרוכב
מישור המספרים המרוכבים הוא שטח דו־ממדי. שם מציגים מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק המדומה מכיל את האות i. כל מספר מרוכב קשור לנקודה במישור. האופקי מייצג את החלק הממשי. האנכי מייצג את החלק המדומה. אפשר גם להציג מספרים לפי מרחק וזווית. המרחק הוא כמה רחוקה...
משפט דה מואבר
משפט דה-מואבר אומר: אם לוקחים (cos x + i sin x) ומעלים בחזקה n, מקבלים cos(nx) + i sin(nx). כאן cos(x) הוא החלק האמתי של המספר, ו-i·sin(x) הוא החלק המדומה. מספר מרוכב הוא מספר בעל שני חלקים כאלה. המשפט עוזר לחשב חזקות של מספרים כאלה ולמצוא שורשים שלהם. זה גם עוזר להבין ביטויים כמו cos של מספר כפול. ...
יחס ישר
יחס ישר אומר שאם אחד המשתנים הוא כפולה קבועה של השני. הקבוע הזה נקרא גורם הפרופורציה. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים. יש לו חלק אמיתי וחלק מדומה. החלק המדומה הוא חלק שונה מהמספרים הרגילים. בחשמל של זרם חילופין, המתח והזרם משתנים בזמן. נוח לתאר את השינוי בעזרת פונקציות מרוכבות. פונקציה מרוכבת הי...
מספר מדומה
מספר מדומה הוא מספר שריבועו נותן מספר שלילי או אפס. מספר כזה נראה כך: ib. ה‑i היא היחידה המדומה. זה אומר i פעמים i שווה -1. 0 נחשב גם ממשי וגם מדומה. כי אי אפשר למצוא מספר ממשי שמרביעו נותן -1, המציאו את ה‑i. שילוב של מספרים רגילים עם i יוצר "מספרים מרוכבים". מספר מרוכב פשוט יש לו חלק רגיל וחלק מדו...
המשפט היסודי של האלגברה
המשפט היסודי של האלגברה אומר דבר פשוט: כל פולינום שאינו קבוע חייב להחזיק שורש. פולינום הוא ביטוי עם חזקות של משתנה ומקדמים מספריים. שורש הוא מספר שמכניסים למשתנה וגורם לביטוי להיות אפס. עוד אפשר לומר: לכל מספר מרוכב יש מספר שמכניסים לפולינום ואז מקבלים את המספר הזה. מספר מרוכב הוא מספר שיכול להיות...
צמוד מרוכב
הצמוד של מספר מרוכב הוא מספר שמשמר את החלק האמיתי. הוא הופך את סימן החלק המדומה (ה-i). לדוגמה: הצמוד של 3+4i הוא 3-4i. כותבים את הצמוד עם קו מעל המספר או עם כוכבית קטנה לידו. כשהכופלים מספר בצמוד שלו מקבלים מספר ממשי. זה שווה ל"אורך בריבוע" של המספר. הצימוד לא משנה את האורך של המספר. אם עושים צימו...
פונקציה הולומורפית
פונקציה הולומורפית היא פונקציה של מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים:\nחלק ממשי וחלק מדומה. פונקציה הולומורפית ניתנת לגזירה בכל נקודה בסביבה שלה. גזירה כאן אומרת שאפשר לחשב "שיפוע" של הפונקציה במובן מיוחד. עיקרון חשוב: הנגזרת של פונקציה הולומורפית לא תלויה בדרך שבה מתקרבים לנקודה. ז...
שורש של מספר
שורש הוא מספר שאם מכפילים אותו כמה פעמים, מקבלים מספר אחר. לדוגמה, שורש ריבועי מוכפל פעמיים בעצמו. אם מכפילים 10 ב-10 מקבלים 100. לכן גם 10 וגם -10 הם שורשים של 100. כשמדברים על ״ה״שורש הריבועי לרוב בוחרים את השורש החיובי. אין שורש ריבועי ממשי למספרים שליליים. כדי למצוא להם שורשים משתמשים במספרים...
ערך מוחלט
ערך מוחלט אומר מה המרחק של מספר מאפס. אם יש 5 או -5, הערך המוחלט של שניהם הוא 5. אם מספר חיובי, הערך הוא המספר עצמו. אם מספר שלילי, הערך הוא המספר בעל הסימן ההפוך. הערך המוחלט תמיד גדול או שווה ל־0. הוא שווה 0 רק כשאיפס. הערך של מכפלה הוא מכפלת הערכים. גם נכון שהמרחק של סכום לא גדול מסכום המרחקים...