מרחב מחויג
מרחב מחויג הוא מקום מתמטי בשם X שיש בו אלומה של חוגים. (אלומה = רשימה שמספרת אילו פונקציות יש על חלקים פתוחים של X). (חוג = קבוצה עם חיבור וכפל). אם בכל נקודה x הנבט הוא חוג מקומי, קוראים לזה מרחב מחויג מקומית. (נבט = מה שמתרחש ממש ליד הנקודה; חוג מקומי = יש בו קבוצת איברים מיוחדת אחת). מרחבים כאל...
יריעה חלקה
יריעה חלקה היא מקום שבו כל נקודה נראית כמו חלק קטן מהמישור. מפה היא דרך להמיר חלק מהיריעה לנקודה ב-R^n. אוסף מפות שמתאימות אחת לשנייה נקרא אטלס דיפרנציאלי. היריעה חשובה כי מאפשרת לעשות חישובים כמו במישור. אפשר להוסיף לה מבנים נוספים. לדוגמה, אם שמים עליה חוקי כפל חלקים, מקבלים חבורה מיוחדת. יש דרך...
מטריקה רימנית
מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים. בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק. המטריקה גם נ...
המרחב המשיק
מרחב משיק הוא אוסף הכיוונים שאפשר ללכת בהם בנקודה על יריעה חלקה. יריעה היא משטח חלק שיכול להיות מעוקם. ווקטור משיק אפשר לתאר כאופן שבו פונקציה משתנה כשזזים בנקודה. הפעלת וקטור משיק על פונקציה נותנת מספר. יש כלל חשוב שנקרא כלל לייבניץ. הוא אומר איך הווקטור מפעיל את עצמו על מכפלת פונקציות. לפי כלל...
יריעה
יריעה היא מקום מיוחד במתמטיקה. באזור קטן היא נראית כמו חלק ישר של שטח. אבל כולו יכול להיות מעוקל, כמו כדור. מפה היא דרך להראות חלק קטן של היריעה כמו קטע על נייר. אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המקום. יריעה טופולוגית היא מקום שבו לכל נקודה יש שכונה שנראית כמו שטח רגיל. פורמלית מכסים את המקום בחלקי...
הורדה והעלאה של אינדקסים
יש כלי בגיאומטריה שנקרא מטריקה. מטריקה אומרת כמה דברים ארוכים או קרובים זה לזה. בכל נקודה על משטח יש "קווים אפשריים". האוסף שלהם נקרא מרחב המשיק. יש גם אוסף של כל הפונקציות שמודדות קווים אלו. קוראים לו המרחב הקו-משיק. המטריקה מקשרת בין שני קווים ומוציאה מספר. אפשר לכתוב אותה באמצעות מספרים שלוב...