קבוצה פתוחה
קבוצה פתוחה היא קבוצה ש"יש לה סביב כל נקודה כדור". כדור זה הוא כל הנקודות שקרובות למרכז עד מרחק קבוע. מרחב מטרי הוא מקום עם מדד מרחק בין נקודות. אם לכל נקודה בקבוצה אפשר למצוא כדור קטן שנשאר בתוך הקבוצה, הקבוצה פתוחה. אנשים אומרים שזה אומר שאין "קצוות": אפשר לזוז קצת מכל נקודה בלי לצאת. דוגמה פשוטה:...
פונקציה רציפה (טופולוגיה)
פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק. פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לת...
בסיס (טופולוגיה)
בסיס הוא קבוצה של אזורים פתוחים. אזור פתוח הוא חלק במרחב. כל אזור פתוח גדול אפשר לבנות מאיחוד של אזורים בבסיס. כלומר, איחוד של כמה אזורים מהבסיס נותן כל אזור פתוח. אם יש נקודה x בתוך אזור פתוח U, יש תמיד אזור בבסיס שמכיל את x והוא בתוך U. כדי לבדוק שאוסף הוא בסיס, בודקים שהוא מכסה את כל המרחב. וגם...
טופולוגיה מושרית
טופולוגיה מושרית נותנת ל-Y את אותן קבוצות פתוחות שיש ב-X. טופולוגיה = אוסף קבוצות פתוחות. תת-קבוצה = קבוצה בתוך קבוצה אחרת. כל קבוצה פתוחה ב-Y היא חיתוך של קבוצה פתוחה ב-X עם Y. זאת אומרת: לוקחים קבוצת פתוחה ב-X וחותכים אותה עם Y. המספרים הרציונליים Q מקבלים את הטופולוגיה מהישר הממשי. כך Q הופכים ...
סביבה (מתמטיקה)
סביבה של נקודה היא קבוצה שמכילה אזור קטן סביב הנקודה. אזור קטן זה הוא קבוצה פתוחה. קבוצה פתוחה היא כזאת שלכל נקודה בה יש נקודות קרובות עוד. אם יש קבוצה N שמכילה קבוצה פתוחה שכוללת את הנקודה a, אז N היא סביבה של a. סביבה מנוקבת היא אותה סביבה בלי הנקודה עצמה. סביבה פתוחה היא סביבה שהיא גם קבוצה פתוח...
מרחב טופולוגי
מרחב טופולוגי הוא דרך לארגן נקודות ולדבר על קרבה והפרדה. יש אוסף נקודות וקבוצה של קבוצות שאותן קוראים "פתוחות". (פתוחה, קבוצת נקודות שאותה מאפשרים לשקול בלי לצאת ממנה.) כללים פשוטים חייבים להתקיים: ריקה וכל היחידה (כל הנקודות) פתוחות, איחוד של פתוחות פתוח, וחיתוך של שתי פתוחות פתוח. קבוצה שהמשלים ש...
קבוצה סגורה
קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את ה"שפה" שלה. השפה היא הקצוות של הקבוצה. לדוגמה הקטע [0,1] כולל את המספרים בין 0 ל-1 וגם את 0 ו-1. לכן הוא סגור. במרחב עם מרחק אומרים שקבוצה סגורה אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה. נקודת הצטברות היא נקודה שסביב לה תמיד יש נקודה אחרת מהקבוצה. אפשר גם להגיד שקבוצה...
מרחב קשיר
קשירוּת אומרת שמרחב הוא חתיכה אחת שאי־אפשר לחלק לשתי חתיכות פתוחות נפרדות. פירוק הוא לחלק את המרחב לשתי קבוצות פתוחות שנפרדות. פירוק שבו אחת הקבוצות ריקה נקרא טריוויאלי. מרחב קשיר הוא כזה שאי־אפשר לפרקו כך. המספרים על הישר הם חתיכה אחת. קטע כמו מ‑0 עד 1 הוא חתיכה אחת. המישור שרוצים עליו מציירים תמ...