טופולוגיה מושרית

טופולוגיה מושרית (נקראת גם הטופולוגיה היחסית או טופולוגיית התת-מרחב) היא טופולוגיה על תת-קבוצה Y של מרחב טופולוגי X. זוהי הטופולוגיה החלשה ביותר שמקיימת שההכלה Y→X היא רציפה.

אם ל-X יש אוסף הקבוצות הפתוחות O, טופולוגיית Y מסומנת O_Y והיא כוללת בדיוק את החיתוכים V∩Y כאשר V∈O. כלומר, קבוצת פתוחה ב-Y היא חיתוך של קבוצה פתוחה ב-X עם Y.

Y יכולה להיות כל תת-קבוצה של X, ולא חייבת להיות פתוחה או סגורה. חלק מתכונות המרחב הן תורשתיות: הן עוברות לכל תת-מרחב. לדוגמה, מטריזביליות (היכולת למדוד מרחקים) היא תכונה תורשתית. גם תכונות כמו האוסדורף (Hausdorff) ורגולריות עובדות בירושה.

יש גם תכונות שאינן תורשתיות. למשל, קשירות (connectedness) אינה תורשתית: הישר הממשי קשיר, אבל קבוצת המספרים הרציונליים Q אינה קשירה. Q מקבלת את הטופולוגיה המושרית מהישר הממשי ומכאן היא מרחב מטרי, אך ניתן להפריד אותה לשתי קבוצות פתוחות ביחס ל-Q סביב המספר π.

קומפקטיות היא חצי-תורשתית: היא עוברת לתת-מרחבים סגורים. לדוגמה, הקטע הסגור [0,1] קומפקטי, אך הקטע הפתוח (0,1) שהוא תת-קבוצה של [0,1], אינו קומפקטי.

טופולוגיה מושרית נותנת ל-Y את אותן קבוצות פתוחות שיש ב-X. טופולוגיה = אוסף קבוצות פתוחות. תת-קבוצה = קבוצה בתוך קבוצה אחרת.

כל קבוצה פתוחה ב-Y היא חיתוך של קבוצה פתוחה ב-X עם Y. זאת אומרת: לוקחים קבוצת פתוחה ב-X וחותכים אותה עם Y.

המספרים הרציונליים Q מקבלים את הטופולוגיה מהישר הממשי. כך Q הופכים למרחב שיכול למדוד מרחקים. אבל Q אינו קשיר. זה אומר שאפשר לחלק אותו לשתי קבוצות נפרדות, למשל סביב המספר π.

תכונות מסוימות עוברות ל-Y, ותכונות אחרות לא. למשל, הקטע הסגור [0,1] הוא קומפקטי (זה אומר שהוא "קטן" במובן טופולוגי), אבל הקטע הפתוח (0,1) אינו קומפקטי.