פורטל:ערכים מומלצים/ערכים/קבוצת קנטור
התחילו מקטע אחד. הורידו את השליש האמצעי, החלק האמצעי מתוך שלושה שווים. עשו את אותו הדבר על כל קטע שנשאר. המשיכו כך שוב ושוב עד אינסוף. גאורג קנטור מצא את זה ב-1883. הקבוצה מפתיעה כי היא לא נראית כמו צורה רגילה. מאה שנים אחרי זה בנואה מנדלברוט התייחס אליה. הוא השתמש ברעיון כשהתעסק בפרקטלים, צורות...
עקום פאנו
עקום פאנו הוא קו רציף שממלא ריבוע. "רציף" כאן אומר שהקֶו לא קופץ ואין קטעים חסרים. הקו נבנה על ידי המתמטיקאי ג'וזפה פאנו ב-1890. הוא רצה להראות שמשתמע שקטע של קו יכול להתאים לכל נקודות הריבוע. הבניית הקו נעשית בשלבים. בכל שלב בונים קויים קצרים ומחברים אותם. בכל שלב הקו נהיה יותר מדויק. בסוף הקו עו...
עוצמת הרצף
עוצמת הרצף היא כמה איברים יש במספרים הממשיים. זו דרך למדוד גודל של קבוצה. קנטור הראה שאי אפשר לספור את כל המספרים הממשיים עם 1,2,3,... . הוכחה זו נקראת רעיון האלכסון. הוא גם הראה שעוצמת הממשיים זהה לעוצמת כל הקבוצות של תתי־הטבעיים. זאת אומרת: יש יותר ממשיים מאשר טבעיים. שאלה גדולה הייתה אם יש "ג...
הגדרה רקורסיבית
הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שמפנה חזרה אל עצמה, אבל בדרך אחרת. תמיד יש גם חוק שעוצר את זה. החוק שנעצור בו קוראים תנאי עצירה. דוגמה פשוטה: להגיד "יהודי מי שאמו יהודיה". כאן בודקים את האם במקום את האדם. בדוגמה מתמטית: עצרת. כותבים 0! = 1. ואז n! = n · (n-1)! לכל שאר המספרים. כך בונים את הערך מהערך הפש...
ממד האוסדורף
ממד האוסדורף אומר כמה "ממדים" יש לקבוצה. פליקס האוסדורף המציא את הרעיון. גם אברהם בסיקוביץ' עזר לפתח אותו. ממד רגיל הוא מספר שלם. למשל, למישור יש ממד 2. אבל יש קבוצות מיוחדות שנקראות פרקטלים. פרקטלים נראים דומים לחלקים שלהם. חלק מהפרקטלים יש להם ממד שאינו שלם. כדי להבין את הממד סופרים כמה כדורים...
תורת המידה
תורת המידה עוסקת בדרך למדוד גדלים של קבוצות. יש דוגמאות פשוטות. הקטע [0,1] יש לו אורך 1. הקובייה [0,1]×[0,1]×[0,1] יש לה נפח 1. אם זורקים קובייה, ההסתברות שיצא 6 היא 1/6. פונקציית מידה היא כלל שנותן לכל קבוצה מספר שאומר כמה היא גדולה. סיגמא־אלגברה היא אוסף של קבוצות שעליו מוגדרת פונקציית המידה. ת...
קטגוריה:תורת המידה
תורת המידה לומדת מדה. מדה היא חוק שמראה כמה גדול משהו. היא בודקת קבוצות, כלומר אוספים של דברים. המידה עוזרת להבין קבוצות מוזרות, למשל קבוצת קנטור....
פרקטל
פרקטל הוא צורה עם חלקים קטנים שחוזרים על עצמם. כשמגדילים פרקטל רואים עוד פרטים דומים לצורה הגדולה. דוגמה פשוטה היא משולש שרפינסקי. מתחילים במשולש ומורידים את המשולש באמצע. אחר כך עושים את זה שוב בכל משולש קטן. כך נשארים הרבה משולשים דומים. פתית השלג של קוך מתחיל מקו. בכל שלב מחליפים את חלקו האמצעי...