אופרטור (תכנות)
אופרטור הוא סימן או מילה שבאמצעותה מחשב מבצע פעולה על ערכים. הערכים האלה נקראים אופרנדים. דוגמאות פשוטות: + לחיבור ו- = להשמה. יש אופרטורים שפועלים על פריט אחד. קוראים להם אונרי. יש אופרטורים על שני פריטים. קוראים להם בינאריים. יש גם אופרטור על שלושה פריטים, כמו ?: שמחליט "אם-אז-אחרת". אלה עושים ח...
אופרטור ביליניארי
אופרטור ביליניארי (פונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה וקטור). וקטור (רשימה של מספרים). הוא ליניארי (שומר על חיבור וכפל במספרים) בכל חלק בנפרד. משתמשים באופרטורים כאלה בהצפנה ובחתימות דיגיטליות, למשל בשיטות שמבוססות על ID....
אופרטור אוניטרי
אופרטור אוניטרי הוא פעולה על וקטורים ששומרת על אורכים וזוויות. וקטור הוא חץ במרחב. האופרטור הזה עובד על מרחב שבו אפשר למדוד זוויות ואורכים. זו המכפלה הפנימית. אפשר להגדיר אותו גם כך: אם נמדוד את המכפלה הפנימית בין שני וקטורים, היא לא משתנה אחרי הפעולה. אופרטור אוניטרי לא משנה את האורך של וקטורים. ...
אופרטור הרמיטי
אופרטור הרמיטי הוא פעולה על וקטורים. וקטור הוא רשימת מספרים. פעולה זו שווה ל"צמוד" שלה. הצמוד הוא אופרטור שמקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. ההסבר הקצר: הצמוד הוא כמו מראה של הפעולה. תכונה חשובה: הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם תמיד מספרים ממשיים. ערך עצמאי (eigenvalue) הוא המספר λ שעבורו Av = λv. כשעו...
אופרטור
אופרטור הוא פעולה במתמטיקה. הוא מקבל דברים ומחזיר דבר חדש. האפרנדים (האופרנדים) הם הדברים שעליהם פועלים. אופרטורים נכתבים בכמה דרכים. דוגמה: \cos x כותבים את השם לפני x. n! כותבים אחרי המספר. 3+4 כותבים בין שני מספרים. יש גם כתיב שבו שמים את הסימן לפני המספרים, למשל +2,3 במקום 2+3. אופרטור ליניארי...
קוהומולוגיית צ'ך
קוהומולוגיית צ'ך היא דרך לבדוק מידע גלובלי במרחב, בעזרת נתונים על חלקים קטנים. יש מרחב X ואלומה. אלומה (אלומה = מבנה שנותן לכל חלק פתוח חתכים או פונקציות וניתן להגביל אותן) היא מה שעובד על כל החלקים הקטנים. כיסוי הוא אוסף של חלקים פתוחים שמכסים את X. קו-שרשרת הוא רשימה של ערכים שמקודשים לחיתוכים ש...
גודל פיזיקלי
גודל פיזיקלי (תכונה שאפשר למדוד) הוא משהו שמודדים. דוגמאות: זמן, אורך ומהירות. לכל גודל יש יחידת מידה (איך מודדים), כמו שניות או מטרים. היחידה נותנת משמעות למספר. למשל: "40 דקות" מראה זמן, ו"40 ק"מ" מראה מרחק. כדי שזה יחשב לגודל פיזיקלי צריכים שלושה דברים: הגדרה ברורה, דרך למדוד או לחשב, ויחידת מד...
קבוע צימוד
קבוע צימוד הוא מספר שאומר כמה שני חלקים במערכת קשורים. לגראנז'יאן (נוסחה שמתארת תנועה) או המילטוניאן (נוסחה שמתארת אנרגיה) פוצלים לחלק קינטי וחלק של חיבורים. החלק הקינטי מראה תנועה. חלק החיבורים מראה איך חלקים משפיעים זה על זה. קבוע הצימוד מוכפל בחלק החיבור. כך הוא קובע כמה החיבור חזק. במודל אייזינג...
מצבים קוהרנטיים
מצב קוהרנטי הוא מצב קוונטי של מתנד הרמוני. מתנד הרמוני זה גוף שמתנודד בקצב קבוע. מצבים כאלה מתנהגים כמעט כמו מערכת קלאסית. יש כלי מתמטי שנקרא אופרטור השמדה. אופרטור זה "מוריד" אנרגיה. מצב קוהרנטי הוא מצב שהוא ערך עצמי של כלי זה. הערך הזה הוא מספר מרוכב z. אפשר לפרק מצב קוהרנטי לצירוף של רמות אנ...
מתנד הרמוני קוונטי
אוסצילטור הרמוני קוונטי הוא הגרסה הקטנה והמשונה של קפיץ עם כדור. כאן החלקיק מתנהג לפי חוקי הקוונטים. האנרגיה של החלקיק באה בקפיצות. זה אומר שאי אפשר לקבל כל ערך אנרגיה שרוצים. האנרגיה הנמוכה ביותר אינה אפס. קוראים לזה אנרגיית נקודת האפס. פונקציית הגל מתארת איפה ניתן למצוא את החלקיק. במצב היסוד הי...
ספקטרום (מתמטיקה)
הספקטרום של אופרטור הוא קבוצת מספרים מורכבים \(\lambda\). המספרים האלה הם אלה שגורמים ל־\(T-\lambda I\) לא להיות הפיך. "אופרטור" הוא חוק שפועל על וקטורים. "הפיך" אומר שקיים חוק שמחזיר את הפעולה אחורה. הספקטרום תמיד מכיל לפחות נקודה אחת. הוא גם סגור (כולל גבולות) וחסום (נמצא בתוך עיגול גדול). אם...
משפט ההעתקה הפתוחה
אם יש פעולה ליניארית A שמחברת בין שני מרחבים גדולים שנקראים מרחבי בנך (Banach). מרחב בנך הוא מקום שאפשר למדוד בו מרחק, והשמות המיוחדים אומרות שהמרחב "מושלם" מבחינת התכנסות. אם A מגיעה לכל נקודה ביעד (על), אז כל קבוצה פתוחה במקור תופיע בתור קבוצה פתוחה ביעד. מספיק להראות שזה נכון בשביל כדור פתוח ש...
פונקציה רקורסיבית
פונקציה רקורסיבית היא חוק שמקבל מספרים ומחזיר מספר. "ניתנת לחישוב" פירושו שאפשר לבצע את החוק בצעדים מסודרים, כמו אלגוריתם. פונקציות פרימיטיביות בונים מחוקים פשוטים וחזרה חוזרת. הן תמיד מפיקות תשובה ומסתיימות על כל קלט. הרבה פעולות חשבון יומיומיות הן כאלה. מוסיפים אופרטור בשם μ (מי). אופרטור זה מ...
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
אנליזה פונקציונלית היא חלק במתמטיקה. היא בודקת וקטורים וחוקים שעובדים על פונקציות. וקטור הוא כמו חץ עם גודל וכיוון. נורמה היא דרך למדוד אורך או גודל. לפעמים בוחנים מרחבים מיוחדים שנקראים בנך והילברט. שם האיברים הם פונקציות....
נורמה (אנליזה)
נורמה היא דרך למדוד «אורך» של וקטור. וקטור הוא רשימה של מספרים שמראה כיוון וגודל. מרחב נורמי הוא מקום שבו יש נורמה. נורמה חייבת לעמוד בשלושה כללים פשוטים. האורך תמיד לא שלילי. אם אורך הוא אפס, הוקטור הוא הוקטור האפס. אם מכפילים את הוקטור במספר, האורך משתנה בהתאם. וגבול אחר אומר שאורך של סכום וקטור...
מערכת ליניארית
מערכת ליניארית היא מערכת שבה היציאה היא עותק מצורף של הכניסה. אופרטור הוא הפעולה שעושה את ההעתקה הזו. כאשר שולחים פולס קצר מאוד שנקרא דלתא של דיראק, מקבלים את תגובת ההלם. תגובת ההלם מראה איך המערכת מגיבה לרגע אחד של כניסה. "בלתי משתנה בזמן" אומר שאם מזיזים את הכניסה בזמן, היציאה תזוז בדיוק באותו א...
כתיב פולני
כתיב פולני הוא דרך מיוחדת לכתוב חישובים וביטויים לוגיים. הלוגיקן יאן לוקשביץ' מצא אותה ב־1920. הרעיון פשוט: שמים את הסימן שעושה את הפעולה לפני מה שעושים עליו. אופרטור זה סימן שעושה פעולה, כמו חיבור. זה מקל על מחשבים לקרוא את הביטוי. לא משתמשים בו בלוגיקה היום הרבה, אבל יש שפות תכנות שמשתמשות בו. ...
קומפלקס שרשרת
קומפלקס שרשרת הוא רשימה של קבוצות שמחוברות בחצים. קבוצה כאן היא אוסף של איברים שעושים חיבור אחד עם השני. בכל שלב יש קבוצה A_n. יש חצים שמחברים A_{n+1} ל־A_n. החצים נקראים מפות גבול. אם עוברים שני חצים ברצף תמיד מקבלים את "האיבר האפס". האיבר האפס מייצג "כלום". יש שתי קבוצות חשובות: ציקלוסים ושפות. ...
ניוון (פיזיקה)
בפיזיקה קוונטית יש דבר שנקרא ניוון. ניוון אומר שמספר מצבים שונים חולקים את אותה תכונה, למשל אותה אנרגיה. מצב זה אומר איך המערכת נמצאת. מצבים מנוונים הם מצבים שונים עם אותה אנרגיה. זה קורה בגלל סימטריה. סימטריה היא פעולה, כמו סיבוב, שלא משנה את המערכת. אם סובבים את המערכת והאנרגיה לא משתנה, ייתכן שיש...
משפט בנך-אלאוגלו
משפט בנך-אלאוגלו אומר שכדור מיוחד של פונקציות הוא קומפקטי בטופולוגיה חלשה-*. קומפקטי פה אומר שאפשר לכסות אותו עם מעט חלקים. יהי X מרחב נורמי, ו-X* הוא המרחב של כל הפונקציות הליניאריות והרציפות על X. זו קוראים לה המרחב הדואלי. לכל נקודה x ב-X יש בדיקה שמודדת כל פונקציה f על ידי הערך f(x). הטופולוגי...
לפלסיאן
הלפלסיאן (נכתב Δ או ∇²) הוא כלי במתמטיקה שאומר איך ערכים משתנים סביב נקודה. שמו מגיע ממדען בשם לפלס. הלפלסיאן מחבר שתי פעולות פשוטות. הראשונה היא גרדיאנט: הוא מראה באיזה כיוון הפונקציה עולה הכי מהר. השנייה היא דיברגנץ: הוא מסכם כמה הווקטור משתנה. ביחד הם נותנים Δf = ∇·(∇f). בקואורדינטות של קרטז זה ...
וקטור מצב (קוונטים)
וקטור מצב הוא דרך לתאר מצב במכניקה קוונטית. וקטור הוא רשימה של מספרים. כותבים אותו לפעמים |ψ\rangle. פונקציית גל מתארת גם היא מצב. החישובים מבוססים על רעיונות של וקטורים ומטריצות. מרחב הילברט, מקום מתמטי שבו שמים את הווקטורים. יש גם "ברים" ו"קטים": ה"בר" הוא וריאציה של הווקטור שעוזרת לחשב מדידות....
סט פקודות
סט פקודות הוא רשימת ההוראות שהמעבד יודע לעשות. שפת מכונה היא השפה שהמעבד מבין. היא מורכבת מסיביות, כלומר ביטים. כל הוראה היא פקודה פשוטה. לכל פקודה יש חלק שמספר מה לעשות. לפעמים יש גם חלק שמכיל את הנתונים. כל המעבד יודע סט פקודות משלו. שפת סף היא דרך לכתוב פקודות בצורה קרובה למחשב אבל קריאה לבני א...
תנע
תנע אומר כמה קשה לעצור גוף. זה תלוי במסה ובמהירות. מסה היא כמה חומר יש בגוף. מהירות היא כמה מהר הוא נע. בדרך כלל תנע גדול כשמסה או מהירות גדולות. קל לעצור רכב איטי. קשה לעצור רכב מהיר. פיל שווה למהירות זבוב יתקשה להיעצר הרבה יותר. כשהגופים אינם מושפעים מבחוץ, סכום התנע שלהם נשאר אותו דבר. גם אחרי ...
תורת שטורם-ליוביל
תורת שטורם-ליוביל בוחנת משוואות שבהן מחפשים פתרון שלא שווה אפס. ערך עצמי זהו מספר הקשור לפתרון כזה. פונקציות עצמית הן הפתרונות האלה. משוואת החום מסבירה איך חום זורם בחומר. פותרים אותה על ידי הפרדת משתנים. זה אומר מניחים שהפתרון הוא מכפלת שתי פונקציות. אחת תלויה במרחב ואחת בזמן. בשיטה זו מקבלים ...
בעיית המדידה
בעיית המדידה היא קושי במכניקת הקוונטים. זו שאלה למה תיאור מתמטי משתנה כשעושים מדידה. לפני מדידה אפשר לחזות אפשרויות. ברגע שמודדים מקבלים תוצאה אחת. מערכת קוונטית מתוארת בעזרת פונקציית גל. פונקציית גל אומרת היכן החלקיק יכול להיות. משוואת שרדינגר היא כללי המשחק שמראים איך פונקציית הגל משתנה בזמן. בד...
פעולה אונארית
פעולה אונארית היא פעולה שעובדת על איבר אחד. איבר (אלמנט) הוא משהו מתוך קבוצה. התוצאה גם היא איבר באותה קבוצה. אפשר לקרוא לזה פונקציה (חוק שמקשר כל איבר לתוצאה). דוגמאות לפעולות אונאריות:...
עסקת חבילה (כשל לוגי)
זו טעות חשיבה. טעות=שגיאה. אומרים שדברים שמקובל לשים יחד תמיד יהיו יחד. לפעמים משתמשים לא נכון ב'ו', 'ו' אומר 'וגם'....
פונקציונל
פונקציונל הוא פעולה שמקבלת פונקציה ומחזירה מספר. פונקציה של פונקציות אומרת בדיוק את זה: קלט פונקציה, פלט מספר. מרחב נורמי הוא מקום שבו אפשר למדוד "אורך" של איברים. יש קבוצה של כל הפונקציונלים הליניאריים. קבוצה זו נקראת המרחב הדואלי. לפונקציונל יש גודל שנקרא נורמה. אם הגודל הזה סופי אומרים שהוא חסו...
אופרון
אופרון הוא קטע DNA שבו כמה גנים נשלטים יחד. DNA (החומר שבתא עם ההוראות לבניית היצורים). האופרון נמצא בעיקר בחיידקים ובנמטודות. בדרך כלל הגנים באופרון עובדים ביחד על אותו דבר. במאזור זה הגנים מועתקים ל-RNA שליח. RNA שליח (העתק שמוביל הוראות לחלבונים). לפני הגנים יש אזור קדם (פרומוטר). אזור הקדם הוא ...
משוואה דיפרנציאלית ליניארית
משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא חוק מתמטי שמערב נגזרות של פונקציה. נגזרת היא השינוי של פונקציה לפי x. סדר המשוואה הוא הנגזרת הכי גבוהה שמופיעה. אם הצד הימני של המשוואה הוא אפס קוראים לה הומוגנית. הומוגנית אומרת שאין כוח חיצוני במשוואה. הרבה פתרונות יכולים להתאים למשוואה כזו. אפשר למצוא כמה פתרונות...
ז'אן לה רון ד'אלמבר
ז'אן לה רון ד'אלמבר (1717, 1783) היה מדען צרפתי. הוא עבד במתמטיקה, פיזיקה ומהנדס. כאשר נולד, אמו השאירה אותו מחוץ לבית כנסייה. כך קיבל את השם שלו. הוא גדל בבית יתומים ואז אומץ. אביו מימן את לימודיו בסתר. הוא למד בבית ספר חשוב בפריז. הוא למד משפטים ואחר כך אהב מתמטיקה ופיזיקה. ב-1740 כתב עבודה על ...
סימון דיראק
סימון דיראק הוא דרך לכתוב מצבים בקוונטום. פול דיראק הגה אותו. יש שני חלקים חשובים: ברה וקט. ברא וקט הם סימנים שמחברים מצבים. כשמחברים ברה וקט מקבלים מספר. מספר זה מראה כמה סביר שיקרה משהו. פונקציית גל ψ(r) מראה היכן החלקיק עשוי להימצא. קט הוא הייצוג של מצב. ברה הוא "המצמיד" שלו. הצמדתם נותנת משרעת...
משוואת שרדינגר
משוואת שרדינגר מלמדת איך מצב של חלקיק קוונטי משתנה עם הזמן. היא נוצרה ב־1926 על ידי המדען ארווין שרדינגר. לפני כן חשבו על האטום באופן פשוט. רתרפורד גילה שיש גרעין קטן וחזק בלב האטום. בוהר אמר שהאלקטרונים עומדים במסלולים כמו גל. דה ברויי אמר שחלקיקים גם הם גלים. רעיונות אלה עזרו למצוא את משוואת שרדי...
או (לוגיקה)
או מחבר שתי אמירות. אמירה = משפט שאפשר לשפוט אם הוא נכון או לא. "או" נכון אם לפחות אחת מהאמירות נכונה. באנשים לפעמים אומרים "או" כדי להגיד שרק אחת נכונה. בלוגיקה אפשר שגם שתיהן יהיו נכונות יחד. דוגמה פשוטה: "הוא עייף או משועמם." לא צריך להגיד "או גם וגם" אם אפשר ששניהם יתקיימו. יש רכיב חשמלי שנקר...
העתקה נורמלית
אופרטור נורמלי הוא העתקה מיוחדת במרחב שמודד אורכים וזוויות. (מרחב מכפלה פנימית הוא זה שמודד אורכים וזוויות.) העתקה צמודה היא העתקה קשורה ל־T. (היא עונה על חוק שמקשר בין זוג וקטורים.) העתקה נורמלית מתחלפת עם הצמודה שלה. אם T מחלק את המרחב לחלקים קטנים כך שבכל חלק היא כופלת בערך קבוע, אז העתקה S שמת...
NOR לוגי
NOR לוגי פירושו 'לא או'. סימון: ↓. זה אופרטור בוליאני. בוליאני, עובד עם אמת או שקר. A↓B יהיה אמת רק כשגם A וגם B שקריים. זאת אומרת שאף אחד מהם לא נכון. אפשר גם בעזרת NOR לבנות פעולות לוגיות נוספות. יש טבלת אמת שמראה כל האפשרויות....