איזומטריה

איזומטריה היא פונקציה ששומרת על מרחקים בין נקודות. מרחב מטרי הוא קבוצה שבה יש כלל למדידת מרחקים בין איברים; איזומטריה ממפה נקודות למרחב אחר כך שהמרחקים נשארים כפי שהיו.

יהיו X ו־Y מרחבים מטריים עם מטריקות d_X ו־d_Y. פונקציה f\colon X\to Y נקראת איזומטריה אם לכל x_1,x_2\in X מתקיים d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2). מכאן נובע שאיזומטריה היא תמיד חד־חד־ערכית, כלומר אין שתי נקודות שונות שממופות לאותה נקודה. איזומטריה שהיא גם על (כל נקודה ב־Y היא תמונה של נקודה ב־X) היא הפיכה, וההופכית שלה גם היא איזומטריה.

איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים: אם קיימת איזומטריה חד־חד־ערכית ועל בין שני מרחבים, אומרים שהם איזומטריים. משמעות הדבר היא שיש להם את אותן תכונות מטריות.

חבורת כל האיזומטריות של מרחב לעצמו היא חבורה ביחס להרכבה של פונקציות. כלומר, הרכבה של שתי איזומטריות היא איזומטריה, ויש בה איבר יחידה והופכיים.

במישור או במרחב האוקלידי, איזומטריות שומרות על אורכי מקטעים ולכן גם על זוויות. כששתי צורות קשורות באיזומטריה, הן חופפות.
האיזומטריות הבסיסיות במישור הן הזזה, סיבוב ושיקוף, וכן הרכבות שלהם. איזומטריות גם שומרות על קווים ישרים, כלומר קו ישר תמיד עובר לקו ישר.

כל איזומטריה אפשר לכתוב בצורה כללית T(p)=A p+v, כאשר A היא מטריצה אורתוגונלית (מפה לינארית ששומרת אורכים וזוויות) ו־v הוא וקטור ההזזה. קבוצת האיזומטריות של המישור נבנית מהמטריצות האורתוגונליות ומהזזות, באופן שמבטא את המבנה הקבוצתי שלהן.

איזומטריה היא דרך לשנות מיקום של נקודות בלי לשנות את המרחקים ביניהן. מרחב מטרי זה קבוצה של נקודות עם כלל למדידת מרחקים.

איזומטריה ממפה כל זוג נקודות כך שהמרחק ביניהן נשאר אותו דבר. אז לא אפשר לשבור מרחקים.

אם מפתחים את כל האיזומטריות למרחב לעצמו, מקבלים קבוצה שנסגרת תחת הרכבה של העברות.

במישור ובחיים היומיומיים, איזומטריות הן הזזה, סיבוב או שיקוף. הזזה היא להזיז בלי לסובב. סיבוב הוא לסובב סביב נקודה. שיקוף הוא להחזיר למראה.
הפעולות האלו שומרות על אורך קווים וזוויות. אם אפשר להשיג צורה אחרת בעזרת הזזה, סיבוב או שיקוף, אז הצורות חופפות.