איחוד (מתמטיקה)

האיחוד של קבוצות A ו-B הוא קבוצה שמכילה כל איבר שנמצא ב-A או ב-B. מבחינה פורמלית: x\in A\cup B אם ורק אם x\in A או x\in B. כאן ה"או" הוא או לוגי, כלומר אם x נמצא בשתיהן הוא עדיין באיחוד.
פעולה שנקראת הפרש סימטרי מחזירה איברים שנמצאים באחת מהקבוצות אך לא בשתיהן.
אם שתי הקבוצות אינן חולקות איברים, קוראים להן קבוצות זרות, ואיחוד כזה נקרא איחוד זר. לעתים משתמשים בסימון \uplus לאיחוד זר.

ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה של קבוצות (אוסף של קבוצות). האיחוד \bigcup_{i\in\Lambda} A_i כולל את כל ה-x שמופיעים לפחות באחת מהקבוצות A_i. כלומר יש k\in\Lambda כך ש-x\in A_k. כאן "אינדקס" i הוא תג לזיהוי כל קבוצה במשפחה.

בהקשרים של סדרות קבוצות מופיעים מושגים כמו הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות A_n, שמסומנים \liminf A_n ו-\limsup A_n, והם מבוססים על איחודים וחיתוכים של תת־קבוצות.

איחוד הוא אסוציאטיבי: (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C). לכן אפשר לכתוב A\cup B\cup C בלי סוגריים. הוא גם קומוטטיבי, כלומר סדר הקבוצות לא משנה.
הקבוצה הריקה (קבוצה שאין לה איברים) היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. כלומר איחוד עם הקבוצה הריקה לא משנה את הקבוצה.
ביחד עם חיתוך והמשלים, האיחוד יוצר מבנה של אלגברה בוליאנית. חיבור וחיתוך דיסטריבוטיביים זה על זה, וכללי דה מורגן מקשרים ביניהם.

איחוד של שתי קבוצות A ו-B הוא כל מה שיש ב-A או ב-B. קבוצה היא אוסף של דברים.
אם פריט נמצא ב-A או ב-B, הוא נמצא גם באיחוד. אם הוא בשתיהן, גם כן הוא באיחוד.

אם שתי קבוצות לא חולקות פריטים, קוראים להן קבוצות זרות. איחוד כזה נקרא איחוד זר.
אפשר לעשות איחוד גם של הרבה קבוצות ביחד. הפריט באיחוד אם הוא נמצא לפחות באחת מהן.

איחוד לא תלוי בסדר. ניתן לאחד A,B,C בכל סדר.
האיחוד עם קבוצה ריקה (אין לה פריטים) לא משנה את הקבוצה.
יש חוקים שמקשרים איחוד לחיתוך ולהשלמה, כמו חוקי דה מורגן.