אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי "אריתמטיקה של גבולות" הם חוקים לחישוב גבולות של פעולות בין פונקציות.

אם לפונקציות f ו-g קיימים גבולות סופיים בנקודה x_0, אז:

הגבול של סכום שווה לסכום הגבולות. כלומר lim(f+g)=lim f + lim g.

הגבול של מכפלה שווה למכפלת הגבולות. במקרה של קבוע α מתקבל lim(α·f)=α·lim f.

הפרש הוא מקרה של סכום עם כפל ב-(-1). הגבול של מנה שקולה למנת הגבולות אם גבול המכנה שונה מאפס.

הטענות הללו נכונות גם כאשר x שואף ל-±∞.

כאשר אחד מהגבולות גדול בהרבה (±∞) ולאחרון יש ערך סופי L>0, המכפלה נוטה ל־±∞ לפי סימני הפונקציות.

כאשר L=0 מתקבלת צורת אי-ודאות "0·∞". במקרה כזה אי אפשר להסיק ישירות מהו הגבול. יש להשתמש בשיטות נוספות, למשל כלל לופיטל, כדי לחשב את הגבול.

גם כאן הכללים חלים כאשר x שואף ל-±∞.

אם lim_{x→x0} f(x)=y0 ו־lim_{y→y0} g(y)=L, אז lim_{x→x0} g(f(x))=L בתנאי שאחד משני התנאים מתקיים:
(1) g רציפה ב-y0 (כלומר g(y0)=L), או
(2) f(x)≠y0 בסביבה מנוקדת של x0.

ההוכחות הבסיסיות משתמשות בהגדרות ε-δ (כלומר: עבור טעות רצויה ε בוחרים מרחק קטן δ) ובאי-שוויון המשולש. בעזרת בחירות δ מתאימות מראים שהשגיאות בכל חיבור, מכפלה או מנה קטנות כפי שצריך, וכך מקבלים את הכללים לעיל.

גבול זה הערך שאליו פונקציה מתקרבת.

אם לשתי פונקציות יש גבול בנקודה x0, אז:

הגבול של סכום הוא סכום הגבולות.
הגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות.

אם מכפילים בפונקציה קבועה α, הגבול מוכפל ב-α.
הגבול של הפרש הוא הפרש הגבולות.

הגבול של מנה שווה למנה של הגבולות רק אם המכנה לא נוטה לאפס.

אם פונקציה אחת גדלה עד אינסוף והאחרת נוטה לערך חיובי, המכפלה גם גדלה מאוד.
אבל אם יש 0 כפול אינסוף, לא יודעים מיד מה קורה. צריך לחשב אחרת.

אם f מתקרבת ל-y0 ו-g מתקרבת ל-L, אז g(f(x)) מתקרבת ל-L
אם g רציפה ב-y0 או אם f לא שווה ל-y0 בקרבת x0.