טנזור הוא אוסף של מספרים שמארגן מידע בהתאם לדרך שבה הוא משתנה תחת שינוי קואורדינטות. דרגת הטנזור היא מספר האינדקסים החופשיים שלו. לדוגמה, וקטור במרחב של שלוש ממדים ניתן לכתוב עם אינדקס יחיד v^μ, והאינדקס μ יכול לקבל ערכים כמו 1,2,3. אינדקס כזה שניתן להציב לו ערך נקרא "אינדקס חופשי".
לטנזורים יש שני סוגי אינדקסים: עליונים (קונטרה־ואריאנטיים, לדוגמה A^μ) ותחתונים (קו־ואריאנטיים, לדוגמה A_μ). האינדקס התחתון מתקבל בדרך כלל על ידי כפל במטריקה g_{λρ} של המרחב, כך שאפשר להוריד או להעלות אינדקסים בעזרת המטריקה. טנזור יכול להכיל אינדקסים משני הסוגים בו־זמנית.
הסכם הסכימה של איינשטיין אומר: אם בביטוי טנזורי מופיע אותו אינדקס פעמיים, פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה, יש לסכום אוטומטית על כל הערכים האפשריים של האינדקס. למשל, a^λ b_λ מייצג סיכום על הערכים של λ. זה מקצר משמעותית כתיבה של ביטויים טנזוריים.
אפשר גם לכתוב סכימה בעזרת המטריקה, דבר שמקשר בין אינדקס עליון לאינדקס תחתון. במרחב אוקלידי שטוח המטריקה היא מטריצת היחידה, ולכן אין הבדל מעשי בין אינדקסים עליונים ותחתונים. לעומת זאת, בתורת היחסות המטריקה של מינקובסקי היא g=diag(1,-1,-1,-1), ומשום כך סכימות יכולות לכלול סימני מינוס עבור הרכיבים המרחביים.
כאשר אינדקס מופיע אחרי פסיק, זה מציין נגזרת חלקית לפי הקואורדינטה המתאימה: A_{μ,ν} = ∂_ν A_μ. כאשר אינדקס מופיע אחרי נקודה פסיק, זה מציין נגזרת קווריאנטית. בנגזרת הקווריאנטית מופיעים סמלי כריסטופל Γ, שהם רכיבים מתמטיים שמייצגים את אופן ההתעקמות של המרחב.
טנזור הוא ארגז של מספרים. כל מספר מקושר לתווית שנקראת אינדקס. דרגת הטנזור אומרת כמה תוויות יש.
יש שני סוגי אינדקסים. אינדקס עליון ואינדקס תחתון. אפשר לשנות אינדקס עליון לתחתון בעזרת מטריקה. מטריקה היא כמו טבלה שמגדירה מרחקים.
חוק האיינשטיין אומר: אם אותו אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, מסכמים על כל הערכים. זה חוסך הרבה כתיבה. באוקלידס, עליונים ותחתונים כמעט אותו דבר. בתורת היחסות המטריקה שונה, ולפעמים יש מינוסים בסכום.
פסיק אחרי אינדקס אומר נגזרת חלקית. זה מדיי איך משהו משתנה לפי כיוון. נקודה פסיק אומרת נגזרת קווריאנטית. בסוג זה מופיעים סמלי כריסטופל. כריסטופל הם מספרים מיוחדים שמראים אם המרחב "מתעקם".
תגובות גולשים