הרחבת שדות

בהרחבה של שדות שדה אחד K מכיל שדה קטן יותר F. שדה הבסיס הוא השדה הקטן F. ההרחבה מסמלת שהפעולות של חיבור וכפל ב-K עולות בקנה אחד עם אלו ב-F. לעתים כותבים את ההרחבה כסימון K/F.

יש דרכים רבות לבנות הרחבות, למשל על-ידי הוספת איברים ל-F. לעיתים נותנים לשדה הבסיס מבנה נוסף, כמו סדר או הערכה, ואז בונים השלמות.

קבוצת יוצרים S של K מעל F היא תת־קבוצה כזו שכל איבר של K ניתן לקבל מהאיברים ב-S ומהאיברים של F בעזרת פעולות השדה. השדה המינימלי שמכיל את F ואת S מסומן F(S). אם S ישירה וסופית, כותבים למשל K=F(a1,...,an).

הרחבה פשוטה נוצרה על ידי איבר אחד: K=F(a). בודקים זאת על‑ידי שליחת פולינום f(λ) ל-f(a). אם אין פולינום לא אפס שמאפס את a, קוראים לו טרנסצנדנטי (אין לו יחס פולינומיאלי מעל F). אם יש פולינום כזה, הוא יוצר אידיאל והופך את K ל-F[a], כאשר הפולינום האי-פריק שנוצר ממנו הוא הפולינום המינימלי של a.

K הוא מרחב וקטורי מעל F. הממד [K:F] הוא הממד של K כמרחב וקטורי מעל F. לממדים יש תכונת כפליות: אם F⊆K⊆E אז [E:K][K:F]=[E:F].
איבר a נקרא אלגברי אם הוא שורש של פולינום עם מקדמים ב-F. הרחבה שבה כל האיברים אלגבריים נקראת הרחבה אלגברית. הרחבות אלגבריות סופיות הן בדיוק ההרחבות בעלות ממד סופי.

האיברים האלגבריים ב-K יוצרים תת־שדה שנקרא הסגור האלגברי היחסי של F ב-K. כל הרחבה ניתנת לפירוק לשרשרת F⊆F1⊆K שבה F1/F היא הרחבה טרנסצנדנטית טהורה (כלומר יוצרים ללא יחסים פולינומיאליים) ו‑F1⊆K היא הרחבה אלגברית. המספר המינימלי של יוצרים טרנסצנדנטיים נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות.

איבר יכול להיות ספרבילי או לא־ספרבילי. המצב הלא־ספרבילי מופיע רק כאשר המאפיין של השדות הוא ראשוני p. הרחבה שבה כל האיברים ספרביליים נקראת הרחבה ספרבילית. משפט האיבר הפרימיטיבי אומר שכל הרחבה ספרבילית סופית היא פשוטה.

במאפיין p בונים תת־שדות K^{p^n} של חזקות-p. חיתוך של כל אלה הוא K^{p^{∞}}. אפשר לפרק כל הרחבה אלגברית לשרשרת שבה החלק הראשון ספרבילי, והשני לא־ספרבילי טהור.

לאזור הרחבה K/F מצמידים את חבורת האוטומורפיזמים Aut(K/F). אלה הן ההעתקויות של K ששומרות על כל איברי F. חבורה זו חשובה לחקר ההרחבה, ולעתים נקראת חבורת גלואה. למשל, חבורת האוטומורפיזמים של R/Q היא טריוויאלית, כי כל אוטומורפיזם חייב לשמור על הסדר ועל הרציונליים, ולכן על כל הממשיים.

שדה הוא קבוצה של מספרים עם חיבור וכפל. הרחבה היא כשיש שדה גדול K שמכיל שדה קטן F. השדה הקטן קוראים לו שדה הבסיס. כותבים את זה K/F.

לעתים מוסיפים ל-F מספרים חדשים כדי לקבל K. זה יוצר הרחבה.

יוצרים הם מספרים שממנו בונים את כל השדה הגדול. אם אפשר לבנות את כל K מהמספרים ב-F ומהיוצרים, אז הם מספיקים.

אם מספיק להוסיף איבר אחד a ל-F כדי לקבל K, קוראים לזה הרחבה פשוטה. אם אין פולינום שמאפס את a, קוראים לו טרנסצנדנטי. אם כן, הוא אלגברי. פולינום מינימלי הוא הפולינום הקצר ביותר שמאפס את a.

K גם הוא מרחב וקטורי מעל F. הממד [K:F] הוא כמה וקטורים צריך כדי לתאר את K על פני F. הרחבה אלגברית היא כזו שכל האיברים שלה הם שורשי פולינומים מעל F.

אפשר לפרק הרחבה לשני חלקים: חלק שבו יש איברים טרנסצנדנטיים, וחלק שבו האיברים אלגבריים. לחלק הטרנסצנדנטי קוראים גם דרגת הטרנסצנדנטיות.

במקרים מסוימים (כשתכונת השדה מיוחדת) יש איברים לא־ספרביליים. הרחבה שבה כל האיברים ספרביליים נקראת ספרבילית. יש גם פירוק לספרבילי ולא־ספרבילי.

Aut(K/F) היא קבוצת הפונקציות מ‑K ל‑K ששומרות על כל איבר של F. זו חבורה של סימטריות של ההרחבה. למשל, האוטומורפיזמים של R מעל Q הם רק הפונקציה הזהה.