תת-חבורת הקומוטטורים

תת-חבורת הקומוטטורים של חבורה G היא התת־חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים ב-G. קומוטטור של שני איברים g ו-h מוגדר כתוצאה ghg^{-1}h^{-1} והוא מראה כמה סדר הפעולות משנה את התוצאה. תת־חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה אבלית; היא טריוויאלית בדיוק כשהחבורה אבלית, והמנה G/G' היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הקומוטטור של g ו-h הוא [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}. תת־חבורת הקומוטטורים מוגדרת כהחבורה הנוצרת על ידי כל קומוטטור אפשרי. מסמנים אותה G' או [G,G]. אם A ו-B הן תת־חבורות נורמליות של G, אז [A,B] היא תת־החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים [a,b] עבור a\in A ו-b\in B; זו תת־חבורה נורמלית גם של A וגם של B.

G' היא התת־חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שהמנה G/G' היא אבלית. כלומר, לכל תת־חבורה נורמלית N מתקיים: G/N אבלית אם ורק אם G' ≤ N. המנה G/G' נקראת אבליזציה של G. הומומורפיזם f:G
to H מעביר קומוטטורים לקומוטטורים, לכן f(G')⊆H'. עבור מנהות חבורה אפשר לחשב גם את קומוטטור המנה: [A/N,B/N]=[A,B]N/N, ובפרט (G/N)'=G'N/N.

מגדירים סדרות של תת־חבורות בעזרת פעולת הקומוטטור. הסדרה הנגזרת נקראת G^{(0)}=G ו-G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}]. לרוב כותבים G' ו-G'' לשכבות הראשונות. אם הסדרה הזו מגיעה לבסוף לחבורה הטריוויאלית, אז G נקראת חבורה פתירה. חבורה עם G'=G נקראת מושלמת. למשל, תת־חבורת הקומוטטורים של קבוצת כל ההחלפות S_n היא קבוצת ההחלפות הזוגיות A_n, ו-A_n מושלמת לכל n5 ויותר.

ניתן גם להגדיר את הסדרה המרכזית התחתונה G_{n+1}=[G,G_n] עם G_1=G. אם היא מסתיימת, החבורה היא נילפוטנטית. פיליפ הול הבחין שנוסחאות קומוטטורים מוכללות שייכות לשתי מחלקות שונות. לכל מחלקה יש תכונות שונות לגבי קבוצות סופיות שמקיימות את הנוסחה, וההבחנה הזו הביאה לתוצאות על מצבים של תנאי השרשרת ועל מספר חבורות שמקיימות את הנוסחה.

אוסף הקומוטטורים לבדו לא חייב להיות חבורה. האורך של איבר ב-G' הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל כדי לקבל אותו. בשנת 1962 הוכיח Gallagher שאורך כל איבר אינו עולה על ערך שמתקבל מלוגריתם בסיס 4 של גודל G'. מאז נמצאו חסמים טובים יותר עבור משפחות שונות של חבורות. לבסוף, הוכחה ההשערה עבור כל החבורות הפשוטות הסופיות בעזרת שילוב של גבולות תאורטיים וחישובים ממוחשבים על תכונות הדמויות של החבורות.

תת־חבורת הקומוטטורים נוצרת מכל הקומוטטורים בחבורה. קומוטטור אומר כמה חשוב הסדר שבו עושים פעולות. אם תמיד אפשר לשנות את הסדר בלי לשנות תוצאה, החבורה נקראת אבלית. תת־חבורת הקומוטטורים קטנה אם והסיבה לכך היא שהחבורה קרובה ל'מסודרת'.

קומוטטור של שני איברים g ו-h הוא האיבר שמראה ההבדל בין לעשות g ואז h לבין לעשות h ואז g. תת־חבורת הקומוטטורים היא כל מה שנוצר מכל הקומוטטורים האלה. המנה שמקבלים על ידי החלוקה בידי תת־חבורת הקומוטטורים היא הצורה הכי מסודרת שמקבלים מ-G.

תת־חבורת הקומוטטורים היא מיוחדת ונורמלית. היא הקטנה ביותר שמקפיאה את חוסר הסדר, כדי שהמנה תהפוך לאבלית. הומומורפיזם, כלומר העברה בין שתי חבורות, מעביר גם קומוטטורים.

מכינים סדרה על ידי לקיחת קומוטטורים שוב ושוב. קוראים לשכבות האלה G', G'' וכן הלאה. אם אחרי כמה צעדים נשארת רק החבורה הריקה, אומרים שהחבורה פתירה. חבורה ששווה לתת־חבורת הקומוטטורים שלה נקראת מושלמת. דוגמה חשובה היא A_n, שמתקבלת מ-S_n, והיא מושלמת ברוב המקרים הגדולים.

האורך של איבר בתת־החבורת הקומוטטורים הוא כמה קומוטטורים צריך להכפיל כדי לקבל אותו. גאלגר הראה שאורך זה לא גדול מדי, והוא תלוי בגודל תת־החבורת הקומוטטורים. מאוחר יותר הוכיחו תוצאות רחבות יותר, ובשנת 2008 סיימו לבדוק את הטענות האלה לכל החבורות הפשוטות הסופיות בעזרת תיאוריה וחישובים ממוחשבים.