משפט ההתכנסות הנשלטת

משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג עוסק באינטגרל של הגבול של סדרת פונקציות מדידות שמתכנסת נקודתית. אם כל פונקציות הסדרה "נשלטות" על־ידי פונקציה אחת אינטגרבילית, כלומר הערך המוחלט שלהן קטן או שווה לפונקציה g שיש לה אינטגרל סופי, אז אפשר להחליף בין גבול לאינטגרל: אינטגרל של גבול הפונקציות שווה לגבול של האינטגרלים. כתוצאה מכך, האינטגרלים של כל הפונקציות בסדרה קיימים וסופיים. המשפט תקף עבור אינטגרל לבג, והוא תקף גם במקרים של פונקציות אינטגרביליות רימן. זהו מקרה פרטי של משפט ההתכנסות של ויטלי.

במרחב מידה (X, F, μ) נניח שיש סדרה מדידה f1,f2,... שמתכנסת כמעט לכל מקום לנקודה f. אם קיימת פונקציה g שהיא אינטגרבילית לבג (כלומר אינטגרל שלה סופי) ושאיבריה שועתקת את הערכים של הסדרה כך ש|fk| ≤ g כמעט בכל מקום לכל k, אז כל הפונקציות fk והגבול f הן אינטגרביליות ובנוסף מתקיים: הגבול של האינטגרלים שווה לאינטגרל של הגבול.

ההוכחה מסתמכת על למה של פאטו (Fatou), שהיא טענה על סדרות של פונקציות אי־שליליות. מכיוון ש|fk| ≤ g, ניתן להסתכל על הפונקציות g+fk שהן אי־שליליות כמעט בכל מקום. מתוך למה של פאטו מקבלים אי־שוויון שמוביל ל־∫f ≤ liminf ∫fk לאחר חיסור ∫g (החיסור מותר כי ∫g סופי). באופן דומה משתמשים בפונקציות g−fk כדי לקבל ∫f ≥ limsup ∫fk. משתי התוצאות נובע ש־limsup ו־liminf של האינטגרלים שווים ונותנים את הערך ∫f, כלומר lim ∫fk = ∫f. זו הסיבה שהגבלת האינטגרלים עוברת לגבול הפונקציות.

יש משפט מתמטי של לבג על חישוב שטחים מתחת לעקומות. אם סדרה של פונקציות מתקרבת לנקודה, ויש פונקציה אחת g שמגבילה אותן בגודל, אז אפשר לחשב את השטח של הגבול על ידי לקיחת הגבול של השטחים. "אינטגרל" כאן פירושו השטח תחת העקומה. "נשלטות" פירושו שכל פונקציה קטנה או שווה בגודל ל־g.

בכל מקום שבו הפונקציות מתכנסות, ואם קיימת פונקציה g עם שטח סופי שמגבילה את הערכים, אז כל הפונקציות והגבול שלהם יש להם שטח, והשטח של הגבול שווה לגבול של השטחים.

ההוכחה משתמשת ב"למה של פאטו". זוהי טענה שעוזרת כשיש פונקציות שאינן שליליות (כלומר לא יורדות למטה). מוסיפים את g לפונקציות כדי לקבל פונקציות לא שליליות, ומיישמים את הלמה. עושים את התרגיל גם עם g פחות הפונקציות. משתי התוצאות מקבלים שוויון בין הגבול של השטחים לשטח של הגבול.