משפט המספרים הראשוניים

משפט המספרים הראשוניים קובע כי π(x)~x/ln(x). π(x) היא פונקציית המספרים הראשוניים, מספר הראשוניים שאינם גדולים מ‑x. ln(x) הוא הלוגריתם הטבעי, פונקציה שגדלה לאט יחסית.

אדריאן-מארי לז'נדר וקרל פרידריך גאוס הציעו את הניחוש עוד בראשית המאה ה‑19. ההוכחה הופיעה ב‑1896, באופן בלתי תלוי, אצל ז'אק אדמאר (Hadamard) וולא דה ואלה פוסן (de la Vallée Poussin). ההוכחה שלהם משתמשת בחקירת פונקציית זטא של רימן, כלי מאנליזה מרוכבת (ענף בחשבון שמשתמש במספרים מורכבים).

יש קירוב מדויק יותר בשם Li(x). Li(x)=∫_2^x dt/ln(t) היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, והיא בדרך כלל מדויקת יותר מ‑x/ln(x). מצד שני, מבחינה אסימפטוטית (כשהx גדול מאוד) שני הקירובים נותנים את אותה תוצאה כי היחס ביניהם שואף ל‑1.

נכון שמקיימות אי‑דיוקים: ליטלוווד (Littlewood) הראה שההבדל בין Li(x) ל‑π(x) משנה סימן אינסוף פעמים. מחקרים הוכיחו שההיפוך הראשון קורה לפני מספר עצום, והגבולות הללו שופרו עם השנים. Rosser ו‑Schönfeld הוכיחו ש‑x/ln(x)≤π(x) לכל x≥17.

אפשר להציג את Li(x) גם כסכום אסימפטוטי קצר שמתחיל ב‑(x/ln x)(1+1!/ln x+2!/ln^2 x+…). בנוסף, מתקיים כי היחס בין הפערים g_n = p_{n+1}-p_n לבין p_n שואף ל‑0, כלומר הפערים קטנים יחסית בגודל הראשוני.

מסמנים π_k(x) מספרים ≤x עם בדיוק k גורמים ראשוניים (ספירה לפי כמות הפעמים שמופיע גורם ראשוני). גאוס חזה ניסוח אסימפטוטי ל‑π_k(x), ולנדאו הוכיח את ההשערה הזו ב‑1900. משפט ארדש‑קק (Erdős, Kac) קובע שהפיזור של ω(n), מספר הגורמים הראשוניים השונים של n, מתקרב להתפלגות נורמלית לאחר נרמול מתאים.

ניתן גם להתבונן בפריימים בקטעים קצרים: מעוניינים בהערכה של π(y+x)-π(y) עבור x קטן יחסית. השערת רימן (הזכרה בלבד) מאפשרת שיפורים רבים כאן; ללא ההשערה קיימים תוצאות פרקטיות פחות חזקות של Heath‑Brown וסלברג.

משפט המספרים הראשוניים נותן גם קירוב ל‑p_n, המספר הראשוני ה‑n‑י: p_n≈n ln n. קיימות סדרות תיקון שמדייקות זאת עוד יותר. רוסר הוכיח ש‑p_n>n ln n לכל n, ויש חזקות מדויקות יותר עבור n≥6.

ב‑1948 הוכיחו אטלה סלברג ופאול ארדש דרך אלמנטרית יותר (שאינה משתמשת באנליזה מרוכבת) להגיע לתוצאה. שני החוקרים פעלו בסגנונות שונים, והייתה מחלוקת סביב מי קיבל את הקרדיט על ההוכחה האלמנטרית, אך יחדיהם תרמו להבנה העמוקה של המשפט.

משפט המספרים הראשוניים אומר כמה ראשוניים יש עד מספר נתון.

π(x) הוא מספר הראשוניים שאינם גדולים מ‑x. ln(x) הוא לוגריתם טבעי; זו דרך לכתוב את גודל המספר.

המשפט העיקרי: כשx גדול, π(x) קרוב ל‑x/ln(x). זאת אומרת, ככל שמתקדמים למספרים גדולים, הראשוניים הופכים נדירים.

גאוס ולז'נדר חשבו על זה לפני הרבה שנים. ב‑1896 הוכיחו את המשפט בעזרת כלים מתמטיים מתקדמים.

יש דרך טובה יותר להעריך את מספר הראשוניים בשם Li(x). לפעמים Li(x) קרוב עוד יותר ל‑π(x). עם זאת, ההבדלים בין הנוסחאות מתנהגים בצורה מסוימת שמשמעותה היא שאין שינוי דרמטי בהתנהגות הכללית.

גם יש כללים על מספרים שיש להם כמה גורמים ראשוניים. משפט בשם ארדש‑קק אומר שאיך שמספר הגורמים מתפלג דומה לעקומת פעמון, אחרי שמנורמל.

בשנת 1948 הוכיחה שיטה פשוטה יותר סלברג ביחד עם ארדש. הייתה מחלוקת מי קנה את הקרדיט, אבל התוצאה נותרה חשובה מאוד.