משפט נקודת השבת של בראואר

משפט נקודת השבת של בראואר קובע: אם f היא פונקציה רציפה שממפה את כדור היחידה הסגור B^n למרחב עצמו, אז יש נקודה x_0 כך ש-f(x_0)=x_0. כדור היחידה הסגור (B^n) הוא כל הנקודות במרחב שנמצאות במרחק עד 1 מהמרכז. "רציפה" פירושו שאין קפיצות קטנות בערכים של הפונקציה.

ההוכחה של בראואר אינה קונסטרוקטיבית, כלומר היא מראה שקיימת נקודה קבועה אך לא מספקת דרך למצוא אותה בפועל. זה השפיע על גישתו הפילוסופית של בראואר והוביל אותו לאינטואיציוניזם, שדוחה הוכחות שלא בונות פתרון ממשי.

יש דוגמאות אינטואיטיביות: אם מקמטים גיליון נייר בלי לקרוע ומניחים אותו על גיליון זהה, תמיד קיימת נקודה אחת שעליה הגיליון המקמוט נמצא בדיוק מעל הנקודה המקבילה לו. זו הדגמה עבור מקרה דו־ממדי (n=2). דוגמה תלת־ממדית היא דגם מוקטן של שדה תעופה: המפה שמקשרת בין נקודה בשדה התעופה למיקום שלה בדגם היא רציפה, ולכן בדגם תמיד תהיה נקודת סימון שמייצגת את אותו המקום.

המשפט כללי יותר: לכל קבוצה קומפקטית וקמורה (קומפקטי = חסומה וסגורה, קמורה = אם שני נקודות בה אז גם כל הקו שביניהן שייך לה), וכל פונקציה רציפה משמה אל עצמה, יש נקודת שבת. התנאים הללו נחוצים: למשל על מעגל (שלא קמור) אפשר להגדיר f שמשליכה כל נקודה לנקודה ההפוכה ואין נקודת שבת. וגם על הקטע הפתוח (0,1) אפשר להגדיר פונקציה רציפה בלי נקודת שבת, ולכן קומפקטיות חשובה.

בממד אחד הוכחה פשוטה: על קטע סגור [a,b] נגדיר g(x)=f(x)-x. אם g(a) חיובי ו-g(b) שלילי, משפט ערך הביניים קובע שקיים x שבו g(x)=0, כלומר f(x)=x. זו הוכחה קצרה וברורה.

בממד שני ההוכחה מבוססת על חלוקה למשולשים קטנים (טריאנגולציה) וסימון כיוונים/צבעים של הקודקודים לפי תמונתן תחת f. ממילא, אם יש משולש קטן שכל קודקודיו בצבעים שונים, אפשר להראות שקיימת נקודה שממופה לתוך אותו משולש. שימוש בלמה של שפרנר (Sperner) וקיחוד של סדרות ε שמובילות לנקודת שבת נותן את התוצאה.

לממד הכללי משתמשים בקואורדינטות בריצנטריות (ייצוג נקודות כסכום משקולות של הקודקודים) ובהנחות הרציפות כדי להגדיר קבוצות סגורות F_i. בעזרת למה שמכונה קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ' (KKM) מראים שקיימת נקודה ששווה לתמונתה, ולפיכך נקודת שבת.

המשפט חשוב בטופולוגיה ובתחומים אחרים. הוא אחד המשפטים המרכזיים המתארים תכונות של מרחבים אוקלידיים.

המשפט משומש להוכחת משפט נאש, שמבטיח קיום שיווי משקל נאש במשחקים עם אסטרטגיות מעורבות. יש לו גם קשר למשחק הקס: דייוויד גייל הראה שקיום נקודת השבת שקול לאי־אפשרות תיקו בהקס.

משפט נקודת השבת של בראואר אומר: אם מפה רציפה מחזירה כל נקודה בתוך הכדור אל בתוך אותו הכדור, יש נקודה שאותה המפה לא משנה. הכדור כאן הוא כל הנקודות שלא נמצאות רחוק יותר מ־1 מהמרכז.

"רציפה" פירושו: כשזזים מעט את הנקודה, התמונה לא קופצת.

דוגמה פשוטה: קמטים דף נייר בלי לקרוע ועוברים אותו מעל דף אחר זהה. תמיד תימצא נקודה שעליה הדף המקמט נמצא בדיוק מעל הנקודה שמתחתיו. זו דוגמה לשתי מימדים. בדגם מוקטן של שדה תעופה יש נקודה בדגם שמייצגת בדיוק מקום בשדה התעופה.

המשפט נכון גם לקבוצות מסוימות שנקראות "קומפקטיות" ו"קמורות". קומפקטי זה אומר שצריך להיות בתוך גבולות וסגור. קמורה זה אומר: אם שתי נקודות נמצאות בקבוצה, גם הקו שביניהן נמצא בה. תנאים אלה חשובים. למשל על מעגל בלבד אפשר למפות כל נקודה לנקודה ההפוכה ואין נקודה שווה לתמונה שלה.

בממד אחד נוכיח בקלות: קו רציף שחוצה את הקטע חייב להיפגש עם הקו ה״זהה״. בממד שני מחלקים את המשולש למשולשים קטנים ומסמנים צבעים. חוק צבעים שנקרא שפרנר מבטיח שיש משולש קטן עם שלושה צבעים. נקודה כזו מובילה לנקודת שבת. בעזרת רעיונות דומים מוכיחים זאת לכל מימד.

המשפט חשוב במתמטיקה ופותר בעיות. למשל הוא עוזר להראות שיש שיווי משקל במשחקים, וזה קשור גם למשחק הקס.