סטיית תקן

סטיית תקן היא מדד לפיזור של ערכים סביב הממוצע שלהם. היא מראה כמה הנתונים נוטים להתרחק מהממוצע. המושג הוטבע על ידי קרל פירסון ב-1894.

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות כמו הנתונים עצמם. היא שווה לשורש הריבועי של השונות. שונות היא הממוצע של ריבועי ההפרשים של כל ערך מהממוצע. נהוג לסמן את סטיית התקן באות היוונית σ (סיגמא).

לכל האוכלוסייה הנוסחה היא: σ = √( (1/n) Σ (x_i - x̄)^2 ). כאן x̄ הוא הממוצע ו-n הוא מספר הערכים. נוסחה זו מתאימה כשיש נתונים מכלל האוכלוסייה.

נניח את הקבוצה {2, 5, 8, 13}. הממוצע הוא 7. סטיית התקן לפי הנוסחה יוצאת כ-4.062. זה מראה פיזור בינוני סביב הממוצע.

במבחן א' ארבעה תלמידים קיבלו {65,75,85,95}. הממוצע 80, σ≈11.18. במועד ב' חמש תלמידים קיבלו ציונים קרובים יותר {76,79,80,81,84}, הממוצע נשאר 80, אבל σ≈2.61. כלומר הציונים במועד ב' פחות מפוזרים.

כאשר הנתונים הם רק מדגם (תת‑קבוצה) מהאוכלוסייה, משתמשים ב-s לחישוב ההערכה של σ. הנוסחה היא s = √( (1/(n-1)) Σ (x_i - x̄)^2 ). ההבדל הוא שהמכנה הוא n-1 ולא n.

מזג אוויר: ערי חוף בדרך כלל מראות סטיית תקן קטנה בטמפרטורות, כי הטמפרטורות פחות משתנות.

פיזיקת חלקיקים: במדע משתמשים ב"5 סיגמא" כדי להכריז על תגלית. זו רמת ודאות מאוד גבוהה, שבה סיכוי לטעות מקרית הוא מאוד קטן.

כלכלה: סטיית התקן משמשת למדידת סיכון. היא מראה כמה תשואות של נכס משתנות סביב התשואה הצפויה. משקיעים משווים תשואה לבין סטיית התקן כדי לבחור השקעות שמתאימות לרמת הסיכון שלהם.

סטיית תקן אומרת עד כמה מספרים מפוזרים סביב הממוצע. ממוצע (הערך הממוצע) הוא סכום הערכים חלקי מספרם.

אם כל המספרים קרובים לממוצע, סטיית התקן קטנה. אם הם רחוקים, סטיית התקן גדולה.

אפשר לחשב סטיית תקן כשיש את כל הנתונים של הקבוצה. חושבים כמה כל מספר שונה מהממוצע, מרובעים את ההפרשים, ומוצאים ממוצע. בסוף לוקחים שורש (פעולה שמוציאה מספר שהריבוע שלו הוא הנתון).

לקבוצה {2,5,8,13} הממוצע הוא 7. אחרי חישוב יוצא מספר בערך 4, שזה סטיית התקן.

במבחן א' היו ציונים מפוזרים יותר, וסטיית התקן הייתה גדולה. במועד ב' הציונים היו קרובים זה לזה, וסטיית התקן הייתה קטנה.

אם לוקחים רק חלק קטן מהקבוצה, משתמשים בתיקון קל בחישוב כדי לקבל הערכה טובה יותר של סטיית התקן של כל הקבוצה.

מזג אוויר: בחוף הטמפרטורות פחות משתנות, לכן סטיית התקן קטנה.

כלכלה: משקיעים בודקים סטיית תקן כדי לדעת כמה מחיר של נכס עלול להשתנות. זה עוזר להחליט אם להשקיע.

פיזיקה: מדענים דורשים רמת ודאות גבוהה מאוד לפני שהם מכריזים על תגלית.