סמל כריסטופל

סמל כריסטופל (Γ^μ_{σρ}) הוא מקרה פרטי של קשר אפיני בשם קשר לוי-צ'יוויטה. קשר (connection) הוא האובייקט שבאמצעותו משווים וקטורים בנקודות שונות במרחב. את רכיבי הקשר קוראים סמלים של כריסטופל. סמל כריסטופל אינו טנזור (tensor), ולכן הוא אינו משתנה כמו טנזור תחת שינוי קואורדינטות.

במערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס יכולים להשתנות ממקום למקום. קשר כריסטופל ממקם את השינוי הזה בצורת מקדמים Γ. בנוסחה: ∇_μ e_ν = Γ_{μν}^ρ e_ρ, שבה e_ν הם וקטורי הבסיס ו-∇ היא הנגזרת הקו-וריאנטית (covariant derivative), הדרך לגזור אובייקטים גאומטריים בצורה שתהיה נכונה בקואורדינטות שונות.

הקשר נקבע על פי שתי דרישות מרכזיות. ראשית, הוא קומפטיבילי עם המטריקה: ∇_ρ g_{μν} = 0. המטריקה (g_{μν}) מגדירה מרחקים וזוויות במרחב. שנית, הקשר חסר פיתול (torsion-free), כלומר אפשר להחליף את סדר הגזירה הקו-וריאנטית; מכאן שסימטרי בשני האינדקסים התחתונים: Γ^μ_{σρ} = Γ^μ_{ρσ}.

משתי הדרישות האלו נובע הביטוי המפורש של סמלי כריסטופל מבחינה חישובית:
Γ^μ_{σρ} = (1/2) g^{μν} (∂_ρ g_{σν} + ∂_σ g_{ρν} - ∂_ν g_{σρ}),
כאשר g^{μν} היא המטריצה ההופכית של המטריקה.

באמצעות סמלי כריסטופל ניתן להגדיר נגזרת קו-וריאנטית של טנזור. הנגזרת הזו שומרת על שתי תכונות חשובות: היא נותנת טנזור חדש כשמפעילים אותה על טנזור, ווקטור שמשתמר בהובלה מקבילית לאורך עקומה מקבל נגזרת קו-וריאנטית אפס.

בתורת היחסות הכללית סמלי כריסטופל מתבטאים כ"כוח" שמקורו בעקמומיות המרחב-זמן. הם משפיעים על תנועת גופים: גוף שנע באופן חופשי עוקב אחר גאודזיה (המסלול הכולל את אפקט העקמומיות), והמשוואה הגאודזית כוללת את סמלי כריסטופל:
(d^2 x^μ/dτ^2) + Γ^μ_{σρ} (dx^σ/dτ)(dx^ρ/dτ) = 0,
כאשר τ הוא הזמן הפרופרי (זמן פנימי) של הגוף ו-dτ^2 = - g_{μν} dx^μ dx^ν מגדיר את מרחק הזמן הפרופרי במרחב-זמן.

סמל כריסטופל הוא אוסף של מספרים שמספרים איך המרחב או המרחב-זמן "מתעקם". הם קשורים לסוג של קשר שנקרא לוי-צ'יוויטה. קשר זה מסביר איך משווים וקטורים בנקודות שונות. וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך.

במערכת קואורדינטות, וקטורי הבסיס משתנים ממקום למקום. סמלי כריסטופל אומרים איך וקטורי הבסיס משתנים. יש להם שתי תכונות חשובות. ראשית, הם מתאימים למטריקה. המטריקה היא משהו שקובע מרחקים. שנית, אין להם "פיתול". זה אומר שהם סימטריים בשני האינדקסים התחתונים שלהם.

סמלי כריסטופל מחושבים מהמטריקה ומהנגזרות שלה. אפשר לחשוב על כך כאילו הם אומדים את השינוי של המדידה של מרחקים מקטע למקטע.

בפיזיקה של איינשטיין, הם משפיעים על תנועת גופים במרחב-זמן. גופים שנעים בחופשיות עוקבים אחרי מסלולים מיוחדים שנקראים גאודזיות. הסמלים קובעים את הכיוון שבו הגוף "נמשך" בזמן התנועה. בזמן הפרטי של הגוף (זמן פנימי) המסלול מקבל את השפעת הסמלים.