קבוצה אינסופית
קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש לה הרבה איברים. הרבה כל כך שאי אפשר לספור כולם עד הסוף.\n\nבמתמטיקה יש כלל שנקרא אקסיומת האינסוף. זה אומר שיש לפחות קבוצה כזו.\n\n=דוגמאות לקבוצות אינסופיות=\nהמספרים הטבעיים הם דוגמה: 1,2,3,...\nגם המספרים הזוגיים הם דוגמה: 2,4,6,...\nאפשר לקשר כל מספר טבעי למספר הזוגי ...
המשבר בעולמות האינסופיים
''המשבר בעולמות האינסופיים'' יצאה ב-1985. זו מיני-סדרה בת 12 חוברות של DC קומיקס. את הסדרה כתבו אנשים בשם מארב וולפמן וג'ורג' פרז אייר אותה. לפני זה היו הרבה עולמות מקבילים. עולמות מקבילים זה הרבה עולמות שונים שקיימים יחד. זה יצר בלגן בסיפורים. המשבר נועד לאחד את העולמות ולסדר את הסיפורים. בסיפור ...
אקסיומת הקבוצה האינסופית
אקסיומת האינסוף אומרת שיש קבוצה אינסופית. זה אומר שקיימת קבוצה A עם הקבוצה הריקה בתוכה. הקבוצה הריקה נקראת "אפס". לכל איבר בקבוצה יש גם "עוקב". העוקב של קבוצה הוא הקבוצה שמכילה את כל האיברים שלה וגם את הקבוצה עצמה. בדרך הזו בונים את המספרים הטבעיים. הם מתחילים מאפס וכל פעם מוסיפים עוקב. אפשר גם לה...
בור פוטנציאל אינסופי
בור פוטנציאל אינסופי נקרא גם "חלקיק בקופסה". הקופסה היא מקום שבו החלקיק יכול להיות. הדפנות חזקות מאוד. החלקיק לא יכול לצאת החוצה. בפנים אין כוח, אז הוא יכול "להיות" בתנועה חופשית. במודל הזה החלקיק יכול להיות רק בכמה אנרגיות מסוימות. זה אומר שלא כל אנרגיה אפשרית מוזנת. זוהי תכונה של הקוונטים (קוונט...
מעגל קסמים
מעגל קסמים נקרא גם מעגל שוטה. זה רצף של מצבים שהולכים זה בעקבות זה. אחרי שעוברים על כולם חוזרים להתחלה. זה מצב בלי מוצא. כשל לוגי (טעות בהוכחה) שנקרא פטיציו פרינצ'יפי הוא כשל שבו מניחים את מה שרוצים להוכיח. בתוכנית מחשב מעגל קסמים יוצר לולאה אינסופית. לולאה אינסופית היא לולאה שלא נעצרת. יש לולאות שא...
סכום
סכום הוא חיבור של דברים. הדברים האלה נקראים איברים (הדברים שמחברים). דוגמה קצרה: 1 + 2 + 4 = 7. חיבור הוא אסוציאטיבי. זה אומר שאפשר לקבץ בדרך שונה ואין שינוי בתוצאה. חיבור גם קומוטטיבי. זה אומר שהסדר לא משנה כשמחברים מספרים. כשרוצים לקצר רשימה כותבים …. למשל: 1 + 2 + … + 100 = 5050. משתמשים בסי...
0.999...
שיטה רגילה לכתוב מספרים היא בעזרת נקודה ועשרות. למשל 13.4 אומר שיש 13 ולפחות חלק נוסף. אם אחרי הנקודה יש ספרות שנמשכות לעד, קוראים לזה פיתוח עשרוני אינסופי. זה אומר שלוקחים סכום קטן־קטן של חלקים, וממשיכים לנצח. הביטוי 0.999... אומר שיש אין־סוף תשיעיות אחרי הנקודה. במתמטיקה מקובל שאותו הביטוי שווה ...
גבול של פונקציה
״גבול של פונקציה״ הוא הרעיון לאן הערכים של פונקציה שואפים כשהx מתקרב לנקודה. אם פונקציה קרובה לערך מסוים כשהx מתקרב לנקודה, אומרים שהגבול שם הוא אותו ערך. הפונקציה לא חייבת להיות מוגדרת בדיוק באותה נקודה. דוגמה קלה: הפונקציה שווה ל־0 בכל מקום חוץ מ־0. בערך 0 היא שווה ל־1. למרות זאת, הגבול ב־0 הוא ...
סדרה הנדסית
סדרה הנדסית היא רשימה של מספרים. כל מספר ברשימה מתקבל בהכפלה. המספר הקבוע שמכפיל נקרא מנה הסדרה. מסמינים אותו q. אם a_1 הוא האיבר הראשון, כל איבר הבא שווה ל-q כפול האיבר שלפניו. נוסחה זו כותבת: a_{n+1} = q \cdot a_n. האיבר ה-n מיוצג כך: a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. זה אומר שמכפילים את a_1 ב-q, שוב ...
ארז'בט טוט
ארז'בט טוט נולדה ב-28 באוגוסט 1951 בהונגריה. היא משוררת. גדלה בטטבאניה בצפון‑מערב הונגריה. היא למדה מנהל עסקים. זה לימוד על ניהול חברות. בין 1981 ל-1985 עבדה בחברה שעשתה שקופיות להצגה. אחר כך כתבה שירים. ספר הביכורים שלה יצא ב-1979 וקרוי "אמצעו של שיר אינסופי". גם פרסמה ספרים נוספים. שיריה ידועים ...
טור (מתמטיקה)
טור הוא חיבור של הרבה מספרים אחד אחרי השני. לדוגמה, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6. טור סופי הוא חיבור של מספר סופי של איברים. כותבים את זה בקיצור בעזרת סימן סכום. בטור טלסקופי חלק מהמספרים מתבטלים. כך קל למצוא את הסכום. לדוגמה, סכום של 1/(n(n+1)) עד n נותן 1-1/(n+1). כשהn גדול מאוד, התוצאה מתקרבת ל־1. ט...
סדרה (מתמטיקה)
סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי. סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה. כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום. התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כ...
עוצמה (מתמטיקה)
עוצמה היא המונח למידת הגודל של קבוצה.\nזה פשוט לקבוצות סופיות: העוצמה היא כמה איברים יש בקבוצה. למשל, קבוצת חודשי השנה יש לה 12 איברים.\n\nלעתים יש קבוצות אינסופיות. גם להן יש עוצמה.\nלמשל, לכל המספרים 1,2,3,... יש אותה עוצמה כמו לכל המספרים הזוגיים 2,4,6,... כי אפשר לזווג כל n עם 2n.\n\nקבוצה אינסו...
לולאה (תכנות)
לולאה (Loop) היא דרך בתכנות לחזור על פעולה שוב ושוב. תוכנית עובדת על פריט אחד בכל פעם. כדי לעשות את זה שוב על הפריט הבא, התוכנית חוזרת להתחלה של הפעולה. לולאה חזקה כי היא יכולה לחזור עליה הרבה פעמים. דוגמה: כדי להכין לוח כפל משתמשים בשתי לולאות אחת בתוך השנייה. יש כמה סוגים של לולאות בשפות תכנות ...
המלון של הילברט
יש מלון עם חדרים שמסומנים 1, 2, 3, ... . יש בו אינסוף חדרים. אינסוף אומר "לא נגמר". כל החדרים מלאים. מגיע אורח נוסף. בעל המלון מבקש מכל אחד לעבור לחדר הבא. מי שהיה בחדר 1 עובר ל‑2. כך חדר 1 מתפנה. אחר כך מגיעים אינסוף אורחים. הבעלים מזיז כל אורח לחדר זוגי. אז כל החדרים האי‑זוגיים ריקים. הוא שם שם...
פתית השלג של קוך
פתית השלג של קוך היא צורה שחוזרת על עצמה שוב ושוב. המתמטיקאי הלגה פון קוך הציג אותה בשנת 1904. אם מתחילים ממשולש שווה־צלעות ומבצעים את אותה פעולה פעמיים ושלוש שוב ושוב, יוצאת צורה שדומה לפתית שלג. הצורה נקראת גם עקומת קוך או אי של קוך. קארל ויירשטראס דיבר על עקומות דומות כבר ב־1872. הוא הראה שאפי...
לאנה לאנג
לאנה לאנג היא דמות קומיקס. היא נוצרה ב-1950. לאנה גדלה בעיר סמולוויל. היא הייתה חברה של קלארק קנט בתיכון. יום אחד חייזר נתן לה טבעת שמעבירה לה כוחות של חרקים. היא קיבלה תחפושת וקראה לעצמה "מלכת החרקים". מאוחר יותר קלארק הראה לה שהוא סופרמן. היא נפגעה כשגילתה שהוא לא אוהב אותה רומנטית. לאנה הת...
ובקומיקס
וובקומיקס, קומיקס שקוראים אותו באינטרנט. חלק מהם יוצאים גם בספרים ובעיתונים. וובקומיקס שונים מקומיקס מודפס, כי אין הגבלות של עיתון. זה מקל על היוצרים לפרסם את העבודה שלהם. יש וובקומיקס שמורכבים מתמונות במקום ציור. יש כאלה שמשתמשים באותה תמונה כל פעם ושמים טקסט שונה, כמו "Dinosaur Comics". יש גם ק...
שבר משולב
שבר משולב הוא דרך לכתוב מספרים כשרשרת של חילוקים. למשל: a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + ...)). שימושים חשובים: למצוא קירובים טובים למספרים כמו π ולפתור בעיות בחשבון. שברים משולבים עוזרים לבנות מספרים רציונליים קרובים למספרים לא שלמים. כבר ארכימדס השתמש ברעיון זה. אחר כך גם מתמטיקאים כמו פיבונאצ'י ואוילר עבדו...
תבנית:ערך מומלץ 22 באוגוסט 2005
ניסוי מחשבתי של המתמטיקאי דויד הילברט. הוא מראה מה קורה כשיש אינסוף (אין סוף). זה מפתיע מי שמכיר רק קבוצות סופיות....
רקורסיה
רקורסיה היא מצב שבו דבר אחד מכיל בתוכו עותק קטן של עצמו. אם יש נקודת עצירה, מפסיקים לחזור. אם לא, זה ממשיך לנצח. מראה מול מראה היא דוגמה פשוטה. הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שמשתמשת בעצמה כדי להסביר את עצמה. תמונה שבתוכה יש את אותה התמונה שוב. קוראים לזה אפקט דרוסטה. צייר שצייר את התמונה שבה הוא מציי...
גבולות הזמן
שואלים אם לזמן יש התחלה או סוף. קשה לדמיין התחלה מוחלטת. חלק מהדתות אומרות שהעולם נברא "בתחילת הזמן". יש מי שרואה את הזמן כקיים מעצמו, גם בלי דברים אחרים. יש מי שאומר שזמן קיים רק כשדברים זזים. יש גם מי שחושב שהזמן קיים רק כשמישהו חושב ומרגיש אותו. "תודעה" זה היכולת לחשוב ולהרגיש. מדענים כמו סט...
יאקוב ברנולי
יאקוב ברנולי (1654, 1705) היה מתמטיקאי משווייץ. הוא אהב מספרים וצורות. נולד בבזל. למד דת ומתמטיקה. טייל בצרפת, בהולנד ובאנגליה ופגש מדענים חשובים. ב-1687 הפך לפרופסור למתמטיקה בבזל. ב-1684 נשא יהודית סטופנוס. היו לו בן ובת. הוא נפטר ב-16 באוגוסט 1705. ברנולי עבד על בעיות של טורים אינסופיים (רצף...
האלכסון של קנטור
קנטור הראה שיש יותר מספרים ממשיים מאשר מספרים טבעיים. 'יותר' כאן פירושו שיש סוגים שונים של אינסוף. יש אינסוף קטן של המספרים הטבעיים. יש אינסוף גדול של כל המספרים הממשיים. ההרעיון נקרא אלכסון. לפני קנטור התחילו בזה חוקרים אחרים, כמו פול דו בואה ריימון. קנטור נתן דרך פשוטה להראות את זה. נביט במספרי...
כשל הומונקולוס
כשל הומונקולוס אומר שאם מסבירים משהו בעזרת אותו הדבר, ההסבר לא עובד. לדוגמה בראייה: נאמר שאור יוצר תמונה בעין ומישהו במוח מסתכל על התמונה. מי זה "מסתכל"? אם אומרים שיש איש קטן בראש, שואלים מיד מי מסתכל בראש של האיש הקטן. אז צריך עוד איש קטן, ועוד ועוד. זאת רגרסיה אינסופית, שרשרת שלא נגמרת. דוגמה ש...
סדר טוב
סדר טוב הוא סדר שבו כל תת־קבוצה לא ריקה מתחילה עם איבר ראשון. (איבר ראשון הוא האיבר הקטן ביותר בקבוצה.) דוגמה פשוטה: המספרים הטבעיים מסודרים היטב. בכל קבוצה של טבעיים יש מספר הכי קטן. אבל בכל השלמים אין מספר ראשון. לכן הם לא מסודרים היטב. עבור המספרים הממשיים אומרים שיכולים לסדר אותם היטב בעזרת רע...
הבינום של ניוטון
בינום הוא סכום של שני איברים, למשל x+y. נוסחת הבינום מראה איך לפתח (x+y)^n. לדוגמה קטן: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. עוד דוגמה: (x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4. המספרים 1,2,6,4 שמופיעים נקראים מקדמי בינום. הם נכתבים {n \choose k}. עצרת (!) היא מכפלת כל המספרים מ־1 עד המספר הנתון. מקדמ...
קבוצה פתוחה
קבוצה פתוחה היא קבוצה ש"יש לה סביב כל נקודה כדור". כדור זה הוא כל הנקודות שקרובות למרכז עד מרחק קבוע. מרחב מטרי הוא מקום עם מדד מרחק בין נקודות. אם לכל נקודה בקבוצה אפשר למצוא כדור קטן שנשאר בתוך הקבוצה, הקבוצה פתוחה. אנשים אומרים שזה אומר שאין "קצוות": אפשר לזוז קצת מכל נקודה בלי לצאת. דוגמה פשוטה:...
מבחני התכנסות לטורים
טור אינסופי הוא סכום של הרבה מאוד מספרים. לעתים אין סוף ואנחנו רוצים לדעת אם הסכום מגיע למספר קבוע בסוף. אם האיברים של הטור לא שואפים לאפס אז הטור לא יתכנס. אם כל האיברים חיוביים, הסכום רק גדל. אם הוא לא מפסיק לגדול, הטור מתבדר. משווים טור לטור ידוע. אם הטור הידוע מתכנס והאיברים של הטור הנבדק...