פונקציה מציינת

פונקציה מציינת, שנקראת גם פונקציה אופיינית או אינדיקטור, היא פונקציה מ־X ל־{0,1} שמציינת אם איבר שייך לתת־קבוצה A של X. כלומר 1_A(x)=1 אם x שייך ל־A, ו־1_A(x)=0 אם לא. סימונים נפוצים הם χ_A, 1_X, I_A או [x∈A]. במקרה שבו X=ℕ ו־A={1} קוראים לה פונקציית היחידה.

פונקציות מציינות משקפות פעולות על קבוצות. למשל ניתן לכתוב יחסים ביניהן שמייצגים חיתוך, איחוד והפרש בין קבוצות. דוגמה ספציפית: 1_{AΔB} = 1_A + 1_B (מודולו 2), שמשמעותה היא ששליפה סימטרית בין A ל־B מקבילה לחיבור הערכים בבסיס 0/1.

במרחב טופולוגי פונקציית האינדיקטור 1_A רציפה בכל נקודה שהיא פנימית ל־A או פנימית למשלים של A. היא אינה רציפה בנקודות על שפת A (הגבול שמפריד בין A ומשלימו). בכל נקודות שבהן 1_A רציפה היא גם גזירה, ונגזרתה שם שווה לאפס.

משפט מרכזי: תת־קבוצה E של X היא מדידה אם ורק אם 1_E היא פונקציה מדידה. ההוכחה פשוטה: התמונה ההפוכה של {1} תחת 1_E היא בדיוק E, ושל {0} היא המשלים של E. לכן מדידות של הקבוצה ומדידות של הפונקציה שקולות.

קבוצת כל הפונקציות המציינות {0,1}^X זהה במבנה (איזומורפית) לקבוצת החזקה P(X) של תתי־הקבוצות של X. באופן מעשי: a שייך ל־A אם ורק אם 1_A(a)=1. מכאן גם נובע כי עוצמת קבוצת החזקה היא 2^{|A|}.

לתכולה (measure תכולתית) משתמשים באינטגרל של פונקציית האינדיקטור כדי להגדיר תכולה פנימית וחיצונית של A על קטע [a,b]. תכולה פנימית היא האינטגרל התחתון של 1_A, ותכולה חיצונית היא האינטגרל העליון. אם הן שוות קוראים להן פשוט תכולה של A. לקבוצות בת־מניה יש תכולה אפס. בדרך כלל לקבוצה יש תכולה אפס אם אפשר לכסות אותה במספר סופי של קטעים סגורים שסכום אורכיהם קטן ככל שתרצה.

באינטגרציה ובתורת המידה בונים פונקציות אינטגרביליות על ידי קירובן על־ידי סכומים סופיים של פונקציות אינדיקטור ומכפלותיהן במספרים. משפט מרכזי בתורת המידה טוען שכל פונקציה מדידה ניתנת להצגה כאגבול של סכומים כאלה.

פונקציה מציינת (אינדיקטור) היא כלל פשוט. היא מקבלת רק 0 או 1. 1_A(x)=1 אם x נמצא בתוך A. היא שווה ל־0 אם x לא נמצא ב־A. סימנים אחרים הם χ_A או I_A.

הפונקציה מראה אם איבר שייך לקבוצה. לדוגמה, 1_{AΔB} שווה לחיבור 1_A ו־1_B במודולו 2. זה אומר: אם איבר שייך לאחת מהן אך לא לשתיהן התוצאה 1.

במקום שבו כל נקודה מוקפת אך ורק באיברי A, הפונקציה רציפה. גם אם הנקודה מוקפת אך ורק בחוץ היא רציפה. על שפת A היא לא רציפה. בכל נקודות הרציפות הנגזרת שלה היא אפס. (נגזרת = קצב שינוי.)

קבוצה E נקראת מדידה אם וכאשר 1_E היא פונקציה מדידה. זה נכון כי התמונה ההפוכה של 1 היא בדיוק הקבוצה E.

כל תת־קבוצה של X מתוארת על־ידי פונקציית האינדיקטור שלה. כך קבוצת כל הפונקציות {0,1}^X זהה מבחינת מבנה לקבוצת כל תתי־הקבוצות של X.

תכולה פנימית של A היא האינטגרל התחתון של 1_A על קטע. תכולה חיצונית היא האינטגרל העליון. אם הם שווים זו תכולה. קבוצות עם מספר סופי או מניה של איברים יש להן תכולה אפס. באינטגרלים מתקרבים לפונקציות רצויות בעזרת סכומים של פונקציות אינדיקטור כפולות במספרים.