פונקציות טריגונומטריות

במתמטיקה, פונקציות טריגונומטריות הן פונקציות של זווית. הן מקשרות בין זוויות במשולש לאורכי צלעותיו. הפונקציות החשובות הן סינוס, קוסינוס וטנגנס.

במשולש ישר-זווית, אם זווית A היא הזווית ליד היתר, מגדירים:
sin A = a/c (הצלע מול הזווית חלקי היתר)
cos A = b/c (הצלע ליד הזווית חלקי היתר)
tan A = a/b (יחס הסינוס לקוסינוס)
הקוסינוס הוא סינוס הזווית המשלימה. עבור זוויות 0° ו-90° הערכים הם גבוליים: sin(0)=0, cos(0)=1, sin(90)=1, cos(90)=0. הטנגנס אינו מוגדר כאשר הקוסינוס שווה ל-0, כלומר בזוויות 90°+k·180°.
באנליטית, השיפוע m של ישר y=mx+n שווה ל-tan של הזווית בין הישר וציר ה-X.
יש זהויות שימושיות: sin α = cos(π/2 − α) וקשר פיתגורסי: sin^2 α + cos^2 α = 1.
פונקציות הופכיות מקובלות: arcsin, arccos, arctan; כל אחת נותנת זווית שמתאימה לערך הנתון.

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס 1 (רדיאן = יחידת מידה לזוויות). הסינוס של זווית θ הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה על המעגל אחרי סיבוב נגד כיוון השעון מהציר החיובי של ה-X. הקוסינוס הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. כך אפשר להגדיר את הפונקציות לכל הזוויות, כולל כאלה מחוץ לטווח 0, 90°. לפי הגדרה זו ערכי הסינוס והקוסינוס יכולים להיות שליליים, והערכים תמיד חסומים בין −1 ל-1. מעגל היחידה עוזר לזכור את הסימנים של הפונקציות בכל הרבעים.

פיתוחי טיילור נותנים טורים לחישוב הפונקציות (החישובים נעשים ברדיאנים):
sin x = x − x^3/3! + x^5/5! − … ≈ x
cos x = 1 − x^2/2! + x^4/4! − … ≈ 1 − x^2/2
הטורים מתכנסים מהר יותר בקרבת אפס, ולכן נוח להשתמש בהם לזוויות קטנות. עושים זאת לעתים יחד עם זהויות טריגונומטריות כדי לחשב ערכים לזוויות גדולות יותר.

סינוס וקוסינוס הם פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית f''(x) = −f(x). נוסחת אוילר מקשרת בינם לפונקציה המעריכית עם המספר הדמיוני i:
e^{ix} = cos x + i sin x
מכאן אפשר להביע את cos ו-sin בעזרת e^{ix} ו-e^{−ix}. הצגה זו מאפשרת להרחיב את ההגדרה גם למספרים מרוכבים. סינוס וקוסינוס הן פונקציות אנליטיות (ניתנות להרחבה לטור חזק), וטנגנס וקוטנגנס הם פונקציות מרומורפיות (עם נקודות שבהן הן אינן מוגדרות).

הצבה בפולינומי צ'בישב מראה: אם זווית (ברדיאנים) היא כעת חלק רציוני של π, אז סינוס וקוסינוס הם מספרים אלגבריים. הם לא יכולים להיות מספרים רציונליים למעט המקרים של כפלות של π/6.

פונקציות טריגונומטריות קושרות זוויות לאורכי צלעות. שלושת העיקריות הן סינוס, קוסינוס וטנגנס.

במשולש ישר-זווית סינוס של זווית הוא הצלע שמול הזווית חלקי היתר. קוסינוס הוא הצלע ליד הזווית חלקי היתר. טנגנס הוא יחס בין שלשתן.
למשל: sin A = מול/יתר, cos A = ליד/יתר, tan A = מול/ליד.
טנגנס לא מוגדר בזוויות שבהן הקוסינוס אפס.

מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס 1. אם מסובבים קרן ציר ה-X בזווית θ נגד כיוון השעון, הנקודה על ההיקף נותנת x ו-y. הקוסינוס הוא ה-x, הסינוס הוא ה-y. לכן ערכים יכולים להיות גם שליליים, אבל תמיד בין −1 ל-1.

יש נוסחאות שמקרבות את הפונקציות בעזרת חזקות של x. לדוגמה, עבור זוויות קטנות (ברדיאנים) sin x כמעט שווה ל-x, ו-cos x כמעט שווה ל-1−x²/2. זה שימושי בחישובים פשוטים.

נוסחת אוילר אומרת: e^{ix} = cos x + i sin x. נוסחה זו מקשרת בין מעריכית לסינוס ולקוסינוס.

עובדה נוספת: כשזווית היא חלק רציוני של π, ערכי הסינוס והקוסינוס הם מספרים מיוחדים (אלגבריים). רק במקרה של כפלות של π/6 יכולים להיות ערכים שהם שברים פשוטים.