פירוק לשברים חלקיים

פירוק לשברים חלקיים הוא שיטה באלגברה שמביאה פונקציה רציונלית, כלומר יחס בין שני פולינומים, לצורת סכום של שברים פשוטים. השיטה חשובה כי היא מקלה חישובים כמו מציאת פונקציות קדומות (אינטגרציה) ופיתוחים סדרתיים. היסוד התיאורטי נשען על אלגוריתם אוקלידס לפולינומים. ההצעה הראשונית הועלתה על ידי לייבניץ ב-1702; יוהאן ברנולי השלימו את הפרטים והנוסחאות לאינטגרלים של מכנים ריבועיים.

אם מכנה g(x) מתפרק לגורמים יחסיים P(x) ו-Q(x) בלי גורמים משותפים, אז אפשר לכתוב 1/g כ-sum של חלקים עם P ו-Q בנפרד. רעיון זה נרחב: כל פונקציה רציונלית ניתנת לכתיבה כסכום של שברים שבהם המכנים הם חזקות של פולינומים אי-פריקים (פולינום שאי אפשר לפרק יותר). מבחינה פורמלית קיימת חלוקה יחידה f/g = b + sum_{i,j} a_{ij}/p_i^j, כאשר b הוא פולינום ו-p_i הם גורמים אי-פריקים.

נבחן את השבר (x+3)/(x^2-3x-40). משפיל את המכנה לגורמים (x-8)(x+5). מחפשים A ו-B כך שהשבר יכתוב כ-A/(x-8)+B/(x+5). הכפלת אגפים במכנה והשוואת מקדמים נותנת מערכת ליניארית. הפתרון הוא A=11/13 ו-B=2/13, ולכן הפירוק הוא 11/13/(x-8)+2/13/(x+5).

בשבר (10x^2+12x+20)/(x^3-8) נפרק x^3-8 ל-(x-2)(x^2+2x+4). הביטוי x^2+2x+4 אינו פריק על הממשיים כי יש לו דיסקרימיננטה שלילית. לכן מחפשים A, B, C כך שהפירוק הוא A/(x-2)+(Bx+C)/(x^2+2x+4). כדי למצוא A משתמשים בהצבה חכמה של ערכי x (כגון x=2) שמבטלים גורמים. כך מקבלים A=7, C=4 ו-B=3, ולכן הפירוק הוא 7/(x-2)+(3x+4)/(x^2+2x+4).

אם גורם ליניארי חוזר, צריך לכל חזקת הגורם שבר נפרד. לדוגמה, לשבר עם מכנה (x-3)(x-4)^2 מתאים פירוק A/(x-3)+B/(x-4)+C/(x-4)^2. עבור גורמים ריבועיים בלתי פריקים שחוזרים, כל חזרה דורשת מונה ממעלה אחת פחות מהגורם, למשל (Bx+C)/(x^2+1)^k.

קיימת שיטה כללית למציאת המקדמים בעזרת שאריות (Residues). עבור קוטב בעל ריבוי q ניתן לחשב את המקדד בעזרת גבול שבו מבצעים נגזרת מסדר q-1 של הביטוי (z-λ)^q P/Q. שיטה זו מקשרת פירוק לשברים חלקיים לניתוח מרוכב ולחישובים יעילים של מקדמים.

פירוק לשברים חלקיים מפצל שבר גדול לשברים קטנים ופשוטים. שבר כזה הוא יחס בין שני פולינומים. פולינום הוא סכום של חזקות של x.

מראש מפצלים את המכנה לחלקים קטנים שאי אפשר לפרק עוד. אחר כך כותבים את השבר כסכום של חלקים שכל אחד מהם קל יותר.

השבר (x+3) על (x^2-3x-40). מכפילים ומוצאים שהמכנה שווה ל-(x-8)(x+5). כותבים את השבר בתור שני חלקים פשוטים. המספרים שקיבלנו הם 11/13 ו-2/13.

בשבר עם מכנה x^3-8 המפרקים את המכנה ל-(x-2) ולחלק ריבועי שלא נפרק. אז כותבים חלק אחד עם A/(x-2) וחלק נוסף עם (Bx+C) על החלק הריבועי. מוצאים את A=7, B=3, C=4 על ידי הצבה של ערכים שנוחים.

כשיש גורם שחוזר כמה פעמים, כותבים מספר שברים לפי מספר החזרות. למשל אם (x-4) מופיע פעמיים, יש גם שבר עם (x-4) וגם עם (x-4)^2.

יש שיטה מתקדמת שמחשבת מקדמים בעזרת "שאריות". זוהי דרך להשתמש בהצבה ונגזרות כדי למצוא את המספרים המתאימים.