משפט דה ברנז'

משפט דה ברנז' (שהיה ידוע קודם כ"השערת ביברבך") הוא טענה בתורת הפונקציות המרוכבות. ביברבך הציע אותה ב-1916, ולואי דה ברנז' הוכיח אותה ב-1985.
תהי f פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה. פונקציה אוניוולנטית היא הולומורפית, כלומר ניתנת לגזירה בכל נקודה במישור המרוכב, וחד-חד-ערכית על העיגול. אם מפעילים על f פיתוח טיילור f(z)=∑_{n=1}^
fty a_n z^n, אז המקדמים מקיימים |a_n| ≤ n |a_1|.

ביברבך הוכיח את הטענה עבור n=2 כבר ב-1916. צ'ארלס לוונר הוכיח את המקרה n=3 ב-1923. בשנת 1979 דייוויד הורוביץ השיג גבול משופר מסוג שונה, שביטל חלק מהאפשרויות לרוע המזל: |a_n| ≤ 1.0657 n. לבסוף דה ברנז' השלימו את ההוכחה לכל n ב-1985. תוצאה זו נחשבת לאחת ההישגים המרכזיים באנליזה המרוכבת במאה העשרים.

המשפט משמש להראות קיום וייחוד של פתרונות למשוואות דיפרנציאליות. זאת אומרת, הוא עוזר לקבוע מתי פתרון קיים ומתי הוא יחיד. בנוסף, היה לו יישום במחקר על התפלגות המספרים הראשוניים. המסקנות שם משפיעות על הבנה תיאורטית של הצפנה ועיצוב מערכות תקשורת מאובטחות.

משפט דה ברנז' היה פעם השערת ביברבך. ביברבך הציע אותה ב-1916. לואי דה ברנז' הוכיח אותה ב-1985.
מדובר בפונקציה על עיגול סביב האפס. פונקציה אוניוולנטית פירושה: היא לא נותנת את אותו ערך לשתי נקודות שונות. הולומורפית פירושה: אפשר לחשב לה נגזרת.
כשהפונקציה נכתבת כסדרה של חזקות, יש לה סדרות של מספרים שנקראים "מקדמים". המקדם במקום n לא גדול יותר מפי n מהמקדם הראשון.

ביברבך הוכיח חלק מהמקרים מוקדם. לוונר הוכיח את המקרה של n=3. בסוף דה ברנז' הראה שהטענה נכונה לכל המקרים.

המשפט עוזר למצוא פתרונות למשוואות ולוודא שהם ייחודיים. הוא גם קשור למחקר על המספרים הראשוניים. הבנה כזאת חשובה לעקרונות בהצפנה שאנו משתמשים בה.