חבורה יסודית
החבורה היסודית מתארת לולאות במרחב. לולאה היא מסלול שמתחיל ומסתיים באותה נקודה. נקודה זו נקראת נקודת בסיס. מראים את כל הלולאות בנקודה אחת. אם אפשר לעקם לולאה אחת להיות אחרת בעדינות, הן חשובות באותו אופן. העקימה הזאת נקראת הומוטופיה. הומוטופיה היא שינוי חלק שהשומר על נקודת הבסיס. כדי "לכפול" לולאות...
מרחב כיסוי
מרחב כיסוי הוא מרחב C שמונח מעל מרחב X עם מפה p שמחברת ביניהם. כל נקודה ב-X יש לה כמה "עותקים" ב-C. את החלקים של C שמדומים לחלק מסוים של X קוראים יריעות. לכל נקודה ב-X יש סביבה קטנה U כך שהעותק של U ב-C מתפצל ליריעות פתוחות. כל יריעה נראית בדיוק כמו U דרך המפה p. מרחבי כיסוי עוזרים להבין איך לולאו...
טורוס
טורוס הוא צורה כמו סופגנייה עם חור במרכז. גם כעך נראה כמו טורוס. אומרים עליו גם טבעת או גלגל הצלה. אם חותכים ריבוע ומדביקים צלעות נגדיות, מקבלים טורוס. זה דומה למפה במשחקים שבה יוצאים מקצה ונכנסים בצד הנגדי. אפשר לתאר כל נקודה על הטורוס בעזרת שני כיוונים של סיבוב. האחד מסובב סביב החור הגדול. השני ...
השערת פואנקרה
יריעה היא צורה שבה כל נקודה קרובה נראית כמו שטח ישר. לדוגמה, פני כדור נראים שטוחים מקרוב. השאלה של פואנקרה: אם כל לולאה על גוף תלת־ממדי אפשר לכווץ לנקודה, האם הגוף הוא כמו סְפִירָה תלת־ממדית? הסבר למילה לולאה: לולאה היא קו שסגור על עצמו. לכווץ לולאה זה להפוך אותה לנקודה בלי לקרוע. - פואנקרה חשב ע...
בקבוק קליין
בקבוק קליין הוא צורה מיוחדת במתמטיקה. זו משטח דו־ממדי שלא ניתן לשים אותו בלי שהחלקים יחזיקו זה את זה במרחב התלת־ממדי. בעולם עם ארבעה ממדים זה היה קל יותר. אפשר לדמיין בקבוק יין עם חור בתחתית. אם נקלף את צוואר הבקבוק וננסה לחברו אל החור מלמעלה, בצורת פלא, זה יוביל לכך שהצוואר יעבור דרך גוף הבקבוק. ...
מסילה (מתמטיקה)
מסילה היא דרך רציפה שמחברת נקודות. "רציפה" אומרת שאין קפיצות בדרך. אפשר לחשוב על מסילה כטיול בזמן. כל רגע בעטיפה מתאים למקום בדרך. דוגמה פשוטה היא הליכה סביב מעגל. לולאה היא מסילה שהתחלה וסוף הם אותו מקום. מסילה פשוטה לא חותכת את עצמה. אם לולאה פשוטה סוגרת עיגול, היא מחלקת את המישור לחלק פנימי וח...
מרחב קשיר מסילתית
קשירות מסילתית אומרת שאפשר לחבר כל שתי נקודות במרחב בעיקול רציף. מסילה היא קו שנצייר מבלי לקפוץ. דוגמאות: קו ממשי (ℝ) וכל המישורים הם כאלה. גם קטע פשוט הוא כזה. אם אפשר לחבר כל שתי נקודות במסילות, אז המרחב גם קשור (אי אפשר לחלק אותו לשני חלקים נפרדים). עקומת הסינוס מורכבת משתי חלקים: A ו־B. כל חל...
מרחב פשוט קשר
מרחב פשוט קשר הוא מקום קשור שבו כל לולאה אפשר לכווץ לנקודה. (לולאה זה מסלול סגור שחוזר לנקודה שממנו התחילו.) המישור הרגיל הוא כזה: כל לולאה בו אפשר להצר אותה עד לנקודה. אם מוציאים מהמישור נקודה, אז יש לולאה שמקיפה את החור ולא ניתן לכווץ אותה. הכדור התלת־ממדי גם הוא פשוט קשר. אפשר לעשות בו ג...
טבעת מביוס
טבעת מביוס היא רצועת נייר מיוחדת. רצועה זו יש לה צד אחד בלבד. השם שלה מגיע מאיש בשם מביוס. האיש היה מתמטיקאי. כדי לבנות אותה לוקחים סרט נייר. מוסיפים חצי סיבוב. מדביקים את הקצוות. אם עוקבים עם האצבע אחרי הקצה, מגיעים לכל הקצה בלי להרים את האצבע. זה אומר שיש רק מעגל אחד שנקרא "שפה". המילה שפה כאן פי...