מבנה אלגברי
מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים. החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים. למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות. לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה...
מונואיד (מבנה אלגברי)
מונואיד הוא קבוצה עם פעולה ושם מיוחד "איבר יחידה". פעולה אסוציאטיבית אומרת שהסדר של חיבור של שלושה איברים לא משנה את התוצאה. האיבר היחידה הוא איבר שמוסיף או מוכפל ולא משנה אחרים. יש הרבה מונואידים, אפילו כאלה עם שישה איברים. יש רק שתי חבורות עם שישה איברים, אבל מונים רבים של מונואידים. איבר נקרא ...
חוג (מבנה אלגברי)
חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c. אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל. איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים ...
אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)
אלגברה בוליאנית היא קבוצה עם שלוש פעולות: וגם, או, ולא. יש גם שני סימנים מיוחדים: 0 ו-1. אפשר לחשוב על זה כמו על קבוצה של תיבות שמכילות חפצים. הפעולה "וגם" היא החפצים המשותפים. הפעולה "או" היא כל מה שיש בשתי התיבות. "לא" לוקחת את מה שאין בתיבה. אם יש את הקבוצה \{x,y,z\}, כל תת-קבוצה שלה יוצרת אלגבר...
אלגברה (מבנה אלגברי)
אלגברה מעל חוג היא מבנה עם שני דברים עיקריים: חוג A ותת‑חוג C שנמצא במרכז. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. "במרכז" פירושו שאיברי C מתחלפים בסדר עם כל איברי A. עוד דרך להגיד את זה: אם C קומוטטיבי (כל זוג איברים מחליף סדר) ו‑A הוא מודול מעל C (מודול דומה למרחב וקטורי), ויש כפל שעובד טוב עם הסקלרים, אז A...
מודול (מבנה אלגברי)
מודול הוא קבוצה עם חיבור, שבה אפשר להכפיל איברים ב'מספרים' שנקראים חוג. חבורה אבלית פירושה שקיים חיבור עם איבר אפס. הכפל במספרים הזה נקרא כפל בסקלר. אם יש פעולה R×M→M שמכפילה כל מספר r באיבר m והתוצאה שומרת על חיבור, אז M הוא מודול מעל R. אפשר להגדיר כפל גם מצד ימין, ואז קוראים לו מודול ימני. מרחב...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...
שדה (מבנה אלגברי)
שדה הוא קבוצה של איברים עם חיבור וכפל. אפשר לחסר ולחלק בכל איבר שאינו אפס. (חיסור הוא חיבור עם נגדי, וחלוקה היא כפל בהופכי.) יש שדות של מספרים שאנחנו מכירים: רציונליים, ממשיים ומרוכבים. רציונליים הם שברים. ממשיים כוללים גם מספרים לא־שברים. מרוכבים הם מספרים בצורת a+bi. יש גם שדות קטנים עם מס...
קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים
מבנה אלגברי הוא מערכת עם חוקים לחיבור או לכפל. מבנה יחידאי הוא כזה שיש ממנו רק דוגמה אחת. איזומורפיזם, כשאפשר להתאים איברים וחוקים בין שני מבנים והם נראים זהים. לפעמים מופיעות גם קבוצות קטנות של מבנים כאלה....