פעולה קומוטטיבית
פעולה קומוטטיבית (נקראת גם חילופית) היא חוק שעובד על שני איברים. איברים = הפריטים שאיתם עובדים, למשל מספרים. התנאי פשוט: אם עושים את הפעולה בסדר אחד או בסדר ההפוך, מקבלים את אותה תוצאה. לדוגמה, 2+3 = 3+2. חיסור לא עובד כך: 3-5 אינו שווה ל-5-3. אם בחבורה (קבוצה עם פעולה) הפעולה תמיד מחליפה, קוראים ...
חוג ארטיני
חוג ארטיני הוא חוג שמפסיק לקבל אידיאלים יותר ויותר קטנים. אידיאל הוא קבוצה מיוחדת בתוך החוג. כל אלגברה עם מספר סופי של ממדים מעל שדה היא ארטינית. חוגים כאלה פשוטים יחסית ומבנים מהם ברורים. הרדיקל של ג'ייקובסון בחוג ארטיני הוא נילפוטנטי. נילפוטנטי פירושו: אם מרימים איבר בחוזקה מסוימת הוא הופך לאפ...
חבורה פתירה
חבורה פתירה היא חבורה שמסתדרים אותה בשלבים פשוטים. חבורה היא אוסף של איברים עם חוק פעולה. "אבלי" זה כששני איברים מחליפים מקום והכל נשאר אותו הדבר. שמו של הרעיון מגיע מתורת גלואה. הוא עוזר להבין מתי אפשר לפתור משוואות בעזרת שורשים. חבורה פתירה ניתנת לפירוק לסדרה של שלבים. בכל שלב מקבלים חבורה שבה...
אידיאל ראשוני
אידיאל ראשוני הוא קבוצת אלמנטים בחוג. חוג הוא מערכת של מספרים עם חיבור וכפל. אם מכפלת שני איברים נכנסה לאידיאל, אז אחד מהאיברים כבר שם. בדוגמה מוכרת, במספרים השלמים (הז), האידיאל שנוצר על ידי n הוא ראשוני אם n הוא מספר ראשוני. כל אידיאל מקסימלי תמיד ראשוני. ניתן "למקד" את החוג סביב אידיאל ראשוני P...
אלגברת סי כוכב
אלגברת סי כוכב (זו מילה ארוכה: סוג מיוחד של אלגברה) היא מבנה מתמטי חשוב. יש לו חוק מיוחד בשם כוכב. החוק אומר כיצד לקבל "שייך" לכל איבר. (יש הרבה דוגמאות אלגבריות ואלגבריות של אופרטורים על מרחב מיוחד.) לכל איבר אפשר להגדיר ספקטרום. ספקטרום זו קבוצה של מספרים. מספר נמצא בספקטרום אם, כאשר מניחים או...
מרחב מחויג
מרחב מחויג הוא מקום מתמטי בשם X שיש בו אלומה של חוגים. (אלומה = רשימה שמספרת אילו פונקציות יש על חלקים פתוחים של X). (חוג = קבוצה עם חיבור וכפל). אם בכל נקודה x הנבט הוא חוג מקומי, קוראים לזה מרחב מחויג מקומית. (נבט = מה שמתרחש ממש ליד הנקודה; חוג מקומי = יש בו קבוצת איברים מיוחדת אחת). מרחבים כאל...
סכום
סכום הוא חיבור של דברים. הדברים האלה נקראים איברים (הדברים שמחברים). דוגמה קצרה: 1 + 2 + 4 = 7. חיבור הוא אסוציאטיבי. זה אומר שאפשר לקבץ בדרך שונה ואין שינוי בתוצאה. חיבור גם קומוטטיבי. זה אומר שהסדר לא משנה כשמחברים מספרים. כשרוצים לקצר רשימה כותבים …. למשל: 1 + 2 + … + 100 = 5050. משתמשים בסי...
חוג המספרים השלמים
חוג המספרים השלמים הוא קבוצת כל המספרים ...,-2,-1,0,1,2,... . חוג הוא קבוצה שבה עושים חיבור וכפל, והתשובה נשארת בקבוצה. אפשר לבנות את השלמים מהמספרים הטבעיים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כשמורידים את הגבול הזה מקבלים גם את השלילים ואת האפס. אם מסתכלים רק על החיבור, השלמים יוצרים חבורה. חבורה היא ...
פעולה בינארית
פעולה בינארית היא פעולה שלוקחת שני דברים מאותו אוסף. אוסף זה נקרא קבוצה. קבוצה היא אוסף של איברים, כמו מספרים או מילים. הפעולה מקבלת שני איברים ומחזירה איבר אחד מהקבוצה. לפעמים אי אפשר לעשות את הפעולה על כל זוג. למשל, אי אפשר לחלק ב־0. קומוטטיבי אומר שהסדר לא משנה את התוצאה. אסוציאטיבי אומר שקיבוץ...
הפרש סימטרי
הפרש סימטרי של שתי קבוצות הוא כל האיברים ששייכים רק לקבוצה אחת. כל איבר ששייך לשתי הקבוצות לא כלול. הרעיון דומה ל"או אחד או השני". כלומר זה מבטא "אחד או השני, אבל לא שניהם". כל תת־הקבוצות של קבוצה X יחד עם החיתוך וההפרש הסימטרי יוצרים מערכת שמתנהגת יפה. חיתוך של קבוצה עם עצמה נותן את אותה הקבוצה חז...
לוח הכפל
לוח הכפל הוא טבלה שמראה מה קורה כשמכפילים מספרים. כפל משמעותו חיבור של אותו מספר כמה פעמים. הנמצא העתיק בבבל הוא בן כ־4,000 שנה, אבל הוא לא היה על בסיס עשר. הלוח העשרוני העתיק ביותר נמצא בסין על רצועות במבוק משנת 305 לפני הספירה. אנשים גם קוראים ללוח לפעמים "לוח פיתגורס" על שם המתמטיקאי היווני פיתג...
איחוד (מתמטיקה)
איחוד של שתי קבוצות A ו-B הוא כל מה שיש ב-A או ב-B. קבוצה היא אוסף של דברים. אם פריט נמצא ב-A או ב-B, הוא נמצא גם באיחוד. אם הוא בשתיהן, גם כן הוא באיחוד. אם שתי קבוצות לא חולקות פריטים, קוראים להן קבוצות זרות. איחוד כזה נקרא איחוד זר. אפשר לעשות איחוד גם של הרבה קבוצות ביחד. הפריט באיחוד אם הוא נמ...
ארבע פעולות החשבון
ארבע פעולות החשבון הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. חיבור אומר שמוסיפים מספרים זה אל זה. סימן החיבור הוא +. תוצאת החיבור נקראת סכום. לוח חיבור מראה סכומים של ספרות. חיסור אומר כמה נשארים אחרי שמורידים חלק. סימן החיסור הוא -. התוצאה נקראת הפרש. חיסור יכול לתת מספר שלילי (מיעוט), לכן משתמשים גם בשלילים....
כפל
כפל הוא דרך להוסיף מספרים חזרה שוב ושוב. למשל, 4 כפול 3 זה 3+3+3+3 ושווה 12. זה אומר לקחת ארבע קבוצות של שלוש פריטים. כפל עוזר למדוד שטחים ונפחים. שטח מלבן זה אורך כפול רוחב. נפח קופסה זה אורך כפול רוחב כפול גובה. כפל כותבים בדרך כלל עם × או נקודה ·. במחשבים כותבים * כי אין סימן × במקלדת. סימן ג...
גאומטריה
גאומטריה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות. אלה כוללות נקודות, קווים, עקומות, משטחים ומעגלים. בגאומטריה משתמשים בכללים בסיסיים שנקראים אקסיומות. אקסיומה היא כלל שמקבלים כנכון בלי להוכיחו. מהאקסיומות בונים משפטים והוכחות. כך מגלים מתי שתי צורות זהות. היוונים העתיקים, ובעיקר אוקלידס, כתבו ספר חשוב שנקרא...
חוק הפילוג
חוק הפילוג אומר שכפל "מפיץ" את עצמו על חיבור. "כפל" פירושו לחבר מספר כמה פעמים. לדוגמה: כשמכפילים ארבע בסכום שני ושלושה, זה כמו שמכפילים ארבע בשניים ובשלושה ואז מחברים את התוצאות. הדבר לא נכון תמיד. אפשר לראות זאת בשני ביטויים שונים שמניבים תוצאות שונות. תהא S קבוצה ויהיו *,+ שתי פעולות בינאריות...