כפל

כפל הוא פעולה בינארית בין מספרים, ובמובן רחב יותר גם פעולה בין איברים במבנים אלגבריים. זהו אחת מארבע פעולות החשבון יחד עם חיבור, חיסור וחילוק. בכמה מבנים אלגבריים מרכזיים מגדירים שתי פעולות בסיסיות: חיבור וכפל.

במספרים הטבעיים כפל הוא חיבור חוזר. למשל, 4 כפול 3 שווה 3+3+3+3=12. באופן רגיל a כפול b פירושו a קבוצות של גודל b. בהגדרה רקורסיבית (מערכת פאנו) מקיימים: a·0=0 ו- a·(b+1)=a·b + a.

את הכפל מרחיבים למערכות נוספות. בשברים (רציונליים) מכפילים בצורה (a/b)·(c/d) = (a·c)/(b·d). במספרים המרוכבים הכפל נובע מהקירוב לחיבור ומההנחה i·i=-1, ולכן (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

תכונות חשובות של הכפל הן: קומוטטיביות (הסדר לא משנה), אסוציאטיביות (אפשר לקבץ ללא סוגריים) וחוק הפילוג ביחס לחיבור (a·(b+c)=a·b+a·c). קיים איבר יחידה, שהוא 1. במערכות מסוימות קיימים גם הופכיים (מספר שמכפלה בו נותנת 1), ומהם נגזר חוק הצמצום.

כפל מסומן ב-× או ·, ולעתים בשילוב סמיכות בין משתנים (XY). בשפות תכנות משתמשים בכוכבית *, מסורת שהחלה ב-Fortran. קיימת גם סימנת המכפלה הגדולה Π שמוצגת כמכפלה סדרתית של גורמים מ־m עד n; מכפלה ריקה מקובל להשוות ל־1. מכפלה אינסופית מוגדרת רק כגבול של מכפלות סופיות.

שטח מלבן הוא אורך×רוחב. נפח תיבה הוא אורך×רוחב×גובה. המושגים "גורמים" או "מספרים נכפלים" מתייחסים למספרים שמכפילים זה את זה. בהוראה מבדילים בין "נכפל" (מה שמכפילים) ל"כופל" (פי כמה), אך התוצאה אינה תלויה בסדר.

כפל הוא דרך להוסיף מספרים חזרה שוב ושוב. למשל, 4 כפול 3 זה 3+3+3+3 ושווה 12. זה אומר לקחת ארבע קבוצות של שלוש פריטים.

כפל עוזר למדוד שטחים ונפחים. שטח מלבן זה אורך כפול רוחב. נפח קופסה זה אורך כפול רוחב כפול גובה.

כפל כותבים בדרך כלל עם × או נקודה ·. במחשבים כותבים * כי אין סימן × במקלדת. סימן גדול Π משמש כשמכפילים הרבה מספרים.

המספרים שמכפילים אחד את השני נקראים "גורמים". במתמטיקה בית ספרית קוראים לאחד "נכפל" ולשני "כופל". זה רק שם, התוצאה נשארת אותו דבר.