אי-שוויון ברנולי

אי-שוויון ברנולי אומר: לכל מספר שלם n≥0 ולכל מספר ממשי x>-1 מתקיים (1+x)^n ≥ 1+nx. זו טענה בסיסית ושימושית באנליזה.

הטענה עוזרת להבין התנהגות של סדרות. למשל, הסדרה (1+1/n)^n עולה, והסדרה (1+1/n)^{n+1} יורדת. שתי הסדרות הללו נוטות לאותה נקודה, שהיא בסיס הלוגריתם הטבעי e, הקרוב ל־2.718.

האי-שוויון תקף גם לכל n ממשי כש-n≥1. אם n זוגי הוא תקף לכל x, ואם n אי־זוגי הוא תקף לכל x>-2 (ואף מעט שמאלה מזה). את הכללות האלה אפשר להראות על ידי השוואת הנגזרות, כלומר לבדוק איך כל אגף משתנה ביחס ל-x.

למקרה x>0 ההוכחה פשוטה בעזרת נוסחת הבינום של ניוטון. הבינום מפרט את החזקה כסכום איברים חיוביים, והאיברים שמעל החלק הטריוויאלי מוסיפים ערך חיובי. לכן (1+x)^n גדול או שווה ל־1+nx.

את המקרה הכללי x>-1 מוכיחים באינדוקציה. שיטת האינדוקציה היא להראות תחילה את המקרה n=1, ואז להניח את הטענה עבור n=k ולהוכיח אותה עבור n=k+1. כפל בשורש חיובי ושימוש בכך ש־kx^2≥0 מספקים את הצעד האינדוקטיבי.

אפשר להכליל את המשפט למחזקה ממשית r. אם r לא שייך לטווח (0,1), אז (1+x)^r ≥ 1+rx לכל x>-1. אם r שייך ל־[0,1], הכ inequality מתהפך: (1+x)^r ≤ 1+rx. הכללה זו ניתנת לגישוש על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים.

אי-שוויון ברנולי אומר משהו פשוט: אם x גדול מ־-1 ו־n הוא מספר שלם לא שלילי, אז להעלות את 1+x בחזקת n נותן תוצאה לא פחותה מ־1 ועוד n פעמים x.

המשפט הזה עוזר להבנה של רשימות מספרים שעולות או יורדות. לדוגמה, הביטוי (1+1/n)^n גדל כשה־n גדול, והביטוי (1+1/n)^{n+1} קטן. הגבול המשותף של שתי הרשימות הוא מספר שמכונה e, שהוא בערך 2.718.

אם x חיובי, אפשר לפרק את (1+x)^n לסכום לפי נוסחת הבינום. החלקים הנוספים הם חיוביים, ולכן מתקבל לפחות 1+nx.

אם רוצים הכלל הכללי, משתמשים באינדוקציה. אינדוקציה היא הוכחה בצעדים: מראים קודם את המקרה הקטן ואז מעבירים ממנו למקרה הבא.

את המשפט אפשר להרחיב גם לחזקות שאינן מספרים שלמים. לפי ההרחבה, עבור חלק מהחזקה מתקיים ≥, ועבור אחרות מתקיים ≤. ההרשמה הזו אפשרית בעזרת בדיקה של השינוי של הפונקציות.