אי-שוויון המשולש

אי-שוויון המשולש הוא הנוסחה d(A,C) ≤ d(A,B)+d(B,C).
כאן d(·,·) היא פונקציית מרחק, כלומר מדד למרחק בין שתי נקודות.
זה מבטא את העובדה הגאומטרית שהקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.
במילים פשוטות: אורך צלע במשולש אינו גדול מסכום אורכי שתי הצלעות האחרות.
הגרסה החזקה d(A,C)≤max{d(A,B),d(B,C)} מופיעה במטריקות לא ארכימדיות.

על הישר הממשי, המרחק נמדד באמצעות הערך המוחלט |·| (המרחק מהאפס).
אי-השוויון שם הוא |a-c|≤|a-b|+|b-c| לכל a,b,c∈R.
אם מציבים c=0, b=y ו-a=x+y מקבלים את הצורה השימושית |x+y|≤|x|+|y|.
צורה זו ניתנת להוכחה על ידי בחינת סימני x ו-y או על ידי גבולות |x|≤x≤|x|.
בנוסף מתקיים |||x|-|y||| ≤ |x-y|.

אפשר להשתמש בתכונות |a|=|-a| ו-a≤|a| כדי להוכיח |x+y|≤|x|+|y|.
אם x+y≥0 אז |x+y|=x+y≤|x|+|y|. אחרת |x+y|=-x-y≤|x|+|y|.
אפשר גם לנסח זאת עם |a|=max{a,-a} ולקבל את אותו הגבול.

אי-השוויון |x+y|≤|x|+|y| תקף גם למספרים מרוכבים.
ניתן להוכיח זאת בגיאומטריה, באלגברה או על ידי משפט פיתגורס.

אי-שוויון המשולש הוא אחת האקסיומות של מטריקה.
בנורמות (פונקציות שמודדות גודל של וקטורים) מניחים, ||x+y||≤||x||+||y||.
כך הוא מהווה את הכלל הבסיסי למדידת מרחק ומרחקים במרחבים כלליים.

אי-שוויון המשולש אומר: המרחק מ-A ל-C קטן או שווה למרחק מ-A ל-B ועוד מ-B ל-C.
כאן מרחק הוא איך שמודדים כמה שתי נקודות רחוקות זו מזו.
זה כמו במשולש: צלע אחת תמיד קצרה או שווה לשתי צלעות אחרות יחד.

על הקו של המספרים משתמשים בערך מוחלט. ערך מוחלט הוא המרחק של מספר מהאפס.
אז |a-c|≤|a-b|+|b-c| לכל a,b,c.
אם בוחרים במיוחד ניקח |x+y|≤|x|+|y|.
זה אומר שהמרחק של סכום שני מספרים לא גדול מסכום המרחקים שלהם.

גם עבור מספרים עם חלק דמיוני, החוק עדיין נכון.
יכולים להוכיח זאת בעזרת ציור או חישוב פשוט.

בחללים מתמטיים אחרים גם כן מגדירים מרחקים.
בכל מקום שמודדים מרחקים, אי-שוויון המשולש הוא חוק חשוב.