מידה (מתמטיקה)

במתמטיקה, מידה היא פונקציה שמקצה מספר אי-שלילי (או ∞) לקבוצות מסוימות. המושג כולל אורך, נפח והסתברות, ולכן חשוב באנליזה ובתורת ההסתברות.

יהי (X, \mathcal{A}) מרחב מדיד, כש-\mathcal{A} היא סיגמא-אלגברה (אוסף של קבוצות שנסגר תחת איחודים בתיקונים בן-מנין ובמשלים). פונקציה \mu\colon\mathcal{A}\to[0,\infty] נקראת מידה אם קיימת לפחות קבוצת מידה סופית והיא סיגמא-אדיטיבית: עבור משפחה בן-מנייה של קבוצות זרות בזוגות A_1,A_2,... מתקיים \mu(\biguplus A_n)=\sum \mu(A_n). מידה שתחזיר ערכים מרוכבים נקראת מידה מרוכבת; אם טווחה הוא [0,\infty) קוראים לה מידה חיובית.

שלשה (X,\mathcal{A},\mu) נקראת מרחב מידה. פונקציה בין שני מרחבי מידה היא מדידה אם התמונה ההפוכה של כל קבוצת מדידה היא מדידה.

מידה חיובית מקיימת תכונות שימושיות נגזרות מהסיגמא-אדיטיביות: מונוטוניות (אם A\subset B אז \mu(A)\le\mu(B)), תת-אדיטיביות בן-מנייתית (המידה של איחוד מספרי אינה גדולה מסכום המידות), וכן רציפות מתחתית (אם A_n עולה אז \mu(\cup A_n)=\lim \mu(A_n)) ורציפות עליונה בתנאי שיש איבר בעל מידה סופית.

מידה נקראת סופית אם אין קבוצה מדידה שערכה \infty; כלומר \mu(X) סופי. במקרים אלה ניתן לנרמל ולהפוך למידת הסתברות על ידי חלוקה ב-\mu(X).

מידה סיגמא-סופית אם X נכתב כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בעלות מידה סופית. דוגמה: מידת לבג על \mathbb{R} סיגמא-סופית, כי \mathbb{R}=\cup_{n\in\mathbb{Z}}[n,n+1] ומידת כל קטע היא 1.

מידה על מרחב טופולוגי נקראת רגולרית אם לכל A מתקיים \mu(A)=\inf\{\mu(G)\mid A\subset G,\ G\text{ פתוח}\}=\sup\{\mu(F)\mid F\subset A,\ F\text{ סגור}\}. מידת לבג רגולרית, בזכות בנייתה דרך מידה חיצונית.

מידה חיובית היא שלמה אם כל תת-קבוצה של קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה. לכל מידה יש השלמה סטנדרטית המרחיבה אותה לסיגמא-אלגברה הגדולה ביותר שבה היא שלמה. מידת לבג היא ההשלמה של מידת האורך על הקו.

אטום הוא קבוצה בעלת מידה חיובית שאין לה תת-קבוצות בעלות מידה חיובית קטנה יותר; לדוגמה מידה דיראק היא אטומית. מידה שאין לה אטומים נקראת לא-אטומית. לדוגמה, מידת לבג לא-אטומית, ולכן לכל קבוצה בת-מניה יש מידה 0.

מידה היא חוק שנותן גודל לקבוצות. הגודל יכול להיות מספר או ∞. זה כמו למדוד אורך, נפח או סיכוי.

יש אוסף של קבוצות שנקרא סיגמא-אלגברה (אוסף שבו אם יש קבוצות, גם האיחוד שלהן נמצא בו). מידה נותנת מספר לכל קבוצה מתוך האוסף. אם קבוצות אינן חופפות, המידה של האיחוד שלהן שווה לסכום המידות.

אם קבוצה אחת בתוך אחרת, המידה שלה לא יותר גדולה. המידה של איחוד של קבוצות אינה יותר גדולה מסכום המידות. אם אוספים של קבוצות גדלים בהדרגה, המידות מתקרבות לערך של האיחוד.

מידה סופית נותנת מספר סופי לכל המרחב. אפשר להפוך מידה סופית להסתברות.

מידה סיגמא-סופית מחלקת את המרחב לאוסף בן-מנייה של חלקים בעלי מידה סופית. לדוגמה, קו הממשיים מתחלק לקטעים [n,n+1].

מידה רגולרית נמדדת "מבחוץ" על ידי קבוצות פתוחות, ו"מבפנים" על ידי קבוצות סגורות.

מידה שלמה אומרת: אם לקבוצה יש מידה 0, כל תת-הקבוצות שלה גם מדידות ומידתן 0.

אטום הוא קבוצה קטנה עם מידה חיובית. מידת דיראק היא עם אטום (נקודה). מידת לבג אין אטומים, ולכן נקודה בודדת שווה 0.