מספרי ברנולי

במתמטיקה, סדרת מספרי ברנולי היא סדרה של מספרים שגילה יאקוב ברנולי. הם מופיעים בהקשרים שונים באנליזה של פונקציות ובתורת המספרים. ברנולי השתמש בהם כדי לחשב במהירות סכומים של חזקות, למשל חישוב של 1^{10}+2^{10}+...+1000^{10}.

האיברים הראשונים הם: B_0=1, B_1=-1/2, B_2=1/6, B_4=-1/30, B_6=1/42, ... . שים לב: כל האיברים בעלי אינדקס אי-זוגי (מלבד B_1) שווים לאפס.

ברנולי חיפש נוסחה כללית לסכום S_m(n)=\sum_{k=1}^{n-1} k^m (סכום של חזקות מדרגה m). הוא הראה שניתן להביע את S_m כפולינום במשתנה n ולגזור נוסחת נסיגה שמביאה להגדרה של מקדמי ברנולי. המקדמים מוגדרים דרך B_0=1 ודרך הנוסחה החזרתית
B_m = -\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m-1} \binom{m+1}{i} B_i,
שבה \binom{m+1}{i} הם מקדמי ביינומ (המכפלה של מקדדי הבחירה).

מהנוסחה החזרתית אפשר לגזור פונקציית יצירה מרכזית: x/(e^x-1)=\sum_{n=0}^\infty B_n x^n/n!. כאן e^x היא פונקציית האקספוננציאל. הנוסחה הזו מקשרת את מספרי ברנולי לפיתוחים של פונקציות טריגונומטריות והיפרבוליות. למשל, מהסימטריה של הביטוי x/(e^x-1)+x/2 נובע ש-B_n=0 לכל n אי-זוגי גדול מ-1, ומתקבל גם טור לפיתוח של cot(x) (קוטנגנס).

אוילר הראה קישור בין מספרי ברנולי לבין ערכים של פונקציית זטא של רימן ב-z=2m:
\zeta(2m)=(-1)^{m+1}\frac{1}{2}\frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!}B_{2m}.
מכאן נובעת החלפת סימנים של B_{2m} והעובדה שהערכים |B_{2m}| גדלים מהר מאוד עם m. יש גם נוסחאות מקורבות שמראות את קצב הגדילה המדויק בקרב מסדרים גדולים.

מספרי ברנולי מופיעים גם בתאוריה של ראשוניים: קומר הראה כי ראשוני p נקרא רגולרי אם ורק אם p איננו מחלק את המונים של B_2,B_4,...,B_{p-3}. לגבי המכנים, משפט של Clausen ו-von Staudt אומר שהשארית של B_{2m} מודולו 1 שווה ל- -\sum_{p,\,p-1|2m}1/p, כלומר מכניס לתמונה חיבור של הופכי ראשוניים שחולקים תכונה מיוחדת עם 2m.

בזכות קשריהם לפונקציות יסודיות, מספרי ברנולי מופיעים בנוסחאות רבות ויש להם חשיבות רחבה במתמטיקה.

מספרי ברנולי הם סדרה של מספרים שמצא יאקוב ברנולי. הם עוזרים לחשב סכומים של חזקות בקלות. למשל חישוב של 1^{10}+2^{10}+... עד מספר גדול.

כמה ערכים פשוטים: B_0=1, B_1=-1/2, B_2=1/6. רוב האיברים עם אינדקס אי-זוגי שווים לאפס, חוץ מ-B_1.

יש נוסחה מיוחדת שמציגה אותם בתוך ביטוי שמשתמש ב-e^x (הפעולה שמגבירה מספר בעזרת חזקות). הנוסחה הזו מסבירה גם מדוע הרבה איברים הם אפס.

איילר, מתמטיקאי מפורסם, גילה קשר בין מספרי ברנולי לפונקציה שנקראת זטא של רימן. קשר זה מראה שגם הגדלים של המספרים האלה משתנים מהר כשהאינדקס גדול.

מספרי ברנולי קשורים גם למחקרים על מספרים ראשוניים מיוחדים. יש משפטים שמספרים אלה עוזרים לפתור.

הם מופיעים בהרבה מקומות במתמטיקה כי הם מקשרים בין חישובים פשוטים לפונקציות וחוקים עמוקים.