מערכת אורתונורמלית שלמה

מערכת אורתונורמלית במרחב מכפלה פנימית (מכפלה פנימית היא פעולה שמחברת בין שני וקטורים ומודדת דמיון או זווית ביניהם) היא קבוצה של וקטורים שכל שניים מהם אורתוגונליים זה לזה (כלומר המכפלה הפנימית שלהם שווה 0) וכל אחד מהם מנורמל לנורמה 1 (נורמה היא אורך הווקטור). מערכת כזו נקראת שלמה אם אי אפשר להוסיף לה וקטור חדש שישמר את התכונה האורתונורמלית.

לכל מערכת אורתונורמלית ולכל איבר x במרחב, סכום ריבועי המקדמים, המקדמים נקבעים על ידי המכפלה הפנימית של x עם וקטורי המערכת, קטן או שווה לריבוע הנורמה של x. זו נקראת אי-שוויון בסל (Bessel). תוצאה חשובה ממנו היא שבכל וקטור יש לכל היותר מספר בן-מנייה של מקדמי פורייה שאינם אפס.

מערכת אורתונורמלית שלמה מקיימת כמה שוויונות שקולים:
- כל איבר במרחב ניתן להציג כסכום ליניארי (אינסופי אפשרי) של וקטורי המערכת, כשהמקדמים הם המכפלות הפנימיות של האיבר עם הווקטורים.
- שוויון פרסבל: סכום ריבועי המקדמים שווה לריבוע הנורמה של האיבר.
- השוויון הפרסבל המוכלל: סכום המכפלות של המקדמים משחזר את המכפלה הפנימית המקורית.
תכונות אלו שקולות: מספיק שאחת מהן תחזיק כדי שלמערכת יהיה המעמד "שלמה".
עוד עובדה חשובה: לכל מרחב הילברט יש עוצמה (ממד) שמוגדרת על ידי עוצמת מערכת אורתונורמלית שלמה שבו. שתי מערכות שלמות באותו מרחב תמיד בעלות אותה עוצמה, ואם שני מרחבי הילברט מכילים מערכות שלמה מאותה עוצמה, המרחבים איזומטריים (יש התאמה משמרת מרחקים).
קיום מערכות אורתונורמליות שלמות בכל מרחב הילברט ניתן להוכיח, למשל בעזרת הלמה של צורן.

- במרחב R^n יש בסיס אורתונורמלי סטנדרטי של וקטורי היחידה e_i.
- במרחב l_2 (מרחב של סדרות) קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה בת-מנייה, אוסף וקטורי היחידה e_i.
- במרחב L_2[0,2\pi] קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה של פונקציות e^{int}/\sqrt{2\pi} (משמשת בפיתוח לטור פורייה).

מערכת אורתונורמלית היא קבוצה של וקטורים. וקטור הוא חץ שמייצג כיוון וגודל.
הווקטורים במערכת ניצבים זה לזה. ניצבים פירושו שהזווית ביניהם היא 90 מעלות.
כל וקטור במערכת גם באורך 1. האורך הזה קוראים לו נורמה.
מערכת שלמה היא מערכת שאי אפשר להוסיף לה עוד וקטור חדש שניצב לכל הווקטורים שלה.

כשהולכים לבדוק כמה מכל וקטור יש בכיוון של כל וקטור מהמערכת, הסכום של הריבועים של המידות האלה לא יכול לגדול על אורך הווקטור המקורי בריבוע. המידות האלה קוראים להן מקדמי פורייה.

במערכת כזו אפשר לבנות כל וקטור במרחב על ידי חיבור של חלקים בכיוונים של הווקטורים שבמערכת. לפעמים צריך אינסוף חלקים.
שוויון פרסבל אומר שסכום ריבועי החלקים שווה בדיוק לריבוע האורך של הווקטור.

- ב-R^n יש וקטורי יחידה פשוטים, עם 1 במקום אחד ו-0 באחרים.
- במרחב של סדרות (l_2) יש וקטורי יחידה שנרכיבים בהם 1 במקום אחד ושארם 0.
- במרחב של פונקציות L_2[0,2\pi] יש מערכת של פונקציות גליות e^{int} שמאפשרת לכתוב פונקציות בעזרת צירופים שלהן.