משפט מינקובסקי הוא תוצאה מרכזית בתחום "גאומטריה של מספרים" בתורת המספרים. את המשפט הוכיח הרמן מינקובסקי ב-1889.
נניח ש-L הוא סריג במרחב R^n. סריג (lattice) הוא קבוצה של נקודות בשבירה מחזורית, כמו הזיגזג של גריד. נסמן ב-C את נפח המקבילון היסודי שלו. המקבילון היסודי הוא התיבה היחידה שחוזרת על עצמה כדי ליצור את הסריג. בדוגמה הפשוטה Z^n, המקבילון היסודי הוא קוביית היחידה, ולכן C=1.
המשפט קובע כך: כל קבוצה סימטרית ביחס לראשית (כלומר אם היא מכילה x אז גם -x), וקמורה (כלומר כל קטע בין שתי נקודות שלה נמצא בתוכה), שאנפחה גדול מ-2^n C חייבת להכיל נקודה של הסריג L שאינה האפס. אם הקבוצה קומפקטית (סגורה וחסומה), הטענה נכונה גם כשהנפח שווה ל-2^n C.
למשפט יש השלכות בתורת המספרים. לדוגמה נובע שכל מחלקת אידיאלים בחוג O_K של שדה מספרים K מכילה אידיאל I עם גבול על הנורמה שלו: N(I) ≤ (n!/n^n)·(4/π)^s · sqrt(|D|). כאן N(I) היא הנורמה, כלומר גודל חוג המנה O_K/I; n הוא המידה של K מעל Q; 2s הוא מספר ההטמעות המרוכבות של K; ו-D היא הדיסקרימיננטה של ההרחבה. מהגבול הזה נובעת גם העובדה שכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד.
משפט זה הוכח על ידי הרמן מינקובסקי ב-1889. הוא שייך לתחום שנקרא גאומטריה של מספרים.
נסתכל על סריג של נקודות במרחב R^n. סריג זה כמו רשת נקודות קבועה. ניקח את התיבה הקטנה שחוזרת על עצמה. נפח התיבה הזו נקרא C. בדוגמה Z^n התיבה היא קוביית יחידה, ולכן C=1.
המשפט אומר: אם יש צורה שקמורה (כל קטע ביניהן בתוך הצורה) וסימטרית ביחס למרכז,
וגובהה גדול מ-2^n · C, אז היא חייבת להכיל נקודת סריג שאינה האפס.
המשפט עוזר גם בתורת המספרים. הוא מראה שיש תמיד אידיאל קטן במחלקת אידיאלים, והדבר מוביל למסקנה שכל הרחבה של Q מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד. נורמה היא פשוט גודל של חוג המנה, כמה איברים יש בו.
תגובות גולשים