עקומה

עקומה היא קו חד־ממדי ורציף. אפשר לדמיין אותה כקו ישר שעיקמנו או פיתלנו בלי לקרוע.

בעגה מתמטית עקומה היא פונקציה רציפה γ שמוגדרת על קטע I של המספרים הממשיים. רציפות פירושה שהקו נע בלי קפיצות. לרוב העבודה מתבצעת במרחב האוקלידי R^n, שבו יש גם מבנה וקטורי ומטרי שמאפשר למדוד מרחקים ואת שינויים.

עקומה נקראת פשוטה אם היא חד־חד־ערכית, כלומר לא עוברת על אותה נקודה פעמיים. בדרך אינטואיטיבית זאת עקומה בלי לולאות או חיתוכים.

עקומה רגולרית היא כזו שהווקטור המשיק שלה אינו אפס בכל נקודה. הווקטור המשיק הוא הנגזרת γ'(t). משמעותה הפשוטה: העקומה לא נעצרת או חוזרת אחורה.

אם הקטע הוא [a,b] ו-γ(a)=γ(b), העקומה סגורה. אם היא גם פשוטה פרט לקצוות, קוראים לה פשוטה וסגורה. דוגמה קלאסית היא מעגל, וזו גם צורתן של עקומות שמופיעות במשפט ז'ורדן.

עקומה חלקה למקוטעים רציפה וגזירה ברציפות חוץ ממספר סופי של נקודות. דוגמה פשוטה היא משולש, שיש לו חיבורים חדים ביניהם.

באופן כללי אורך עקומה מוגדר כסופרמום של סכומי המרחקים בין נקודות בניות, כלומר של אורכי קווים פוליגוניים שמקרבים את העקומה. אם העקומה גזירה ורגולרית, אפשר לחשב את האורך דרך האינטגרל:
ℓ(γ)=∫_a^b ||γ'(t)|| dt
במקרה של גרף y=f(x), מתקבלת הנוסחה המוכרת
ℓ=∫_a^b sqrt(1+(f'(x))^2) dx
הנוסחאות נגזרות מעיקרון פיתגורס ושימוש בפרמטריזציה מתאימה.

לעקומה רגולרית ניתן להחליף את הפרמטר t בפרמטר אורך ℓ(t)=∫_{t_0}^t ||γ'(τ)|| dτ. בפרמטר זה משתנה הפרמטר הוא בעצמו אורך הקשת. בווקטור המשיק לפי פרמטר האורך יש נורמה 1, כלומר הוא מנורמל. בפרמטריזציה כזו משתמשים במשוואות פרנה ומשוואות פרנה-סרה ובהגדרת האוולוט.

עקומה היא קו רציף. אפשר לכופף או לפיתל קו ישר בלי לקרוע אותו.

במילים פשוטות, עקומה ניתנת על ידי פונקציה רציפה. רציף אומר שאין קפיצות בקו.

עקומה פשוטה לא עוברת על אותה נקודה פעמיים. אין בה לולאות.

עקומה רגולרית לא נעצרת. אין נקודה שבה המהירות היא אפס.

עקומה סגורה מחזירה את עצמה בקצה. דוגמה ידועה היא מעגל.

זה קו חלק וברור, אבל יכול להיות כמה פינות. המשולש הוא דוגמה.

אורך קו מחשבים על ידי חיבור מקטעים ישרים קטנים. ככל שמחלקים יותר, מקבלים טוב יותר את האורך. אם הקו חלק משחקים עם מהירות הנקודה על הקו ומחשבים סכום אינסופי של קטעים קטנים.

אפשר לתת לכל נקודה מספר שהוא המרחק מההתחלה. מספר זה נקרא פרמטר האורך. בפרמטר זה הוויקטור המשיק תמיד בגודל אחד.